数理方法期中测验及答案

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1、07801-808数学物理方法期中测验试题一填空题（每题5分，共20分）1现有一长度为的均匀细弦，弦的端固定，端受迫作简谐振动（只在x=L处），弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数所满足的定解问题是（）。【2】有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温，那么此Z矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（）。3常用三类齐次边界条件的统一表达式是（），当（）就是第一类边界条件；当（）时，就是第二类边界条件。4积分（）。解利用递推公式和分部积分法，得二求解下列本征值问题的本征值和本

2、征函数（每题10分，共20分）（1）（2）解（1）因为我们已经知道，本征值。设，方程（1）中方程的通解是.由边界条件得A=B=0，即X（x）=0，为平凡解，故也不可能有。设，此时（1）中方程的通解是..由于（否则），故，所以有（2）3阶Bessel方程的通解是P131，由知,，得由此得到本征值为其中是函数的第n个零点。相应的本征函数是三试在球坐标系下将Laplace方程分离变量，即得到各个单变量函数所满足的常微分方程。（20分）解设,代入方程中，得，将变量和变量分离。为此，用遍乘上式，并适当移项，可得,其中是分离常数。由此可得

3、两个微分方程,（1）和.对上面第二个方程，再将变量分离,其中是第二次分离变量引入的常数，它可以用一个实数表示，为了以后讨论方便，令[可以证明任意一个实数都可表为，其中为另一任意实数或复数]。由此再得两个常微分方程,(2a)将式中的导数求出，得到,(2b)以及.(3a)对方程（3a）作变换以后，可以改写成,(3b)将其中的导数求出就有(3c)至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微分方程（1）、(2)和(3).四（本题20分）均匀薄板占据的区域为带状区域（，），边界上的温度分布为,，。试用分离变量法求解板的

4、稳定温度分布，即求解定解问题：解令，代入原方程得解本征值问题，得本征值和本征函数为解关于的方程得从而有由此得注。五（本题20分）半径为a高为h的圆柱体，上底的电势分布为，下底和侧面的电势保持为零，求圆柱体内(无源)的电势分布。即求解定解问题无源的（p27p46）与φ无关,对称性解分离变量，即令代入方程得其中是分离常数，方程(1)和(2)解依次是(3)(4)由边界条件得及(5)可见对应k=0问题没有非零解。由(4)得本征值为（6）相应的本征函数为(7)将本征值代入到（3）的第二个式子得到由边界条件得，于是（8）组合、叠加，得问题

5、的一般解为（9）由边界条件代入，得右边的级数是右边函数的Fourier-Bessel级数，由展开式的系数公式，并考虑此时的边界条件，有令应用分部积分法和递推公式，得上式用到降阶公式因此将上式代入到(9),的原定解问题的解为