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1、复变函数论姓名（学号：1938）（物理与电子信息学院物理学专业2010级，内蒙古呼和浩特010022）指导老师:孙咏萍第一章：复变函数一复数（一）概念:将定义i2=1，将i作为虚数单位，引出虚数概念.（二）虚数A•体表达方式如下1.代数式：z=x+iyx,ygR）实部x=/?r（z）虚部y=/w（z）9模:z=r=yjx2+y22.指数式：z=pelG3•三角式：z=p（cos6+isin0）在指数与三角式中，辅角沒，模p沒=/kgz+2々兀（々=0，±1，土2_.），其中为主辅角，其取值范围［0,2兀＞p=z=r=」x2+y24复平面表示:把虚数的实部、虚部当作平面上
2、的坐标，使之与平面上的点对应。此平面称为复平面，坐标轴称为实轴虚轴。与原点形成的矢量即可表示此复数。幅角就是矢量与实轴所成的角，周期性很明显5.共辗复数:z-x-iy-p（cos^-Zsin^）=pe~'°
3、Z
4、2=2'2（三）复数运算1.加减法：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，并且满足交换律与结合律。由复平面可得IZ(+Z2
5、<
6、Z,
7、14-1Z2IIz,—z2>Z
8、(
9、—Iz21并可以以得出：Iz,-z21<
10、z„-z21<
11、z„+z21<
12、Z,I+Iz2
13、I1.乘除法：(1)应用代数式有z2=(x]x2-y}y2)-}-i(x,y2-x2y})：4+大:(2)应用
14、三角和指数有如下：乘法：模相乘，辐角相加。除法：模相除，辐角相减。满足交换律，结合律，分配律。2.当zz0，可以归结为一对实变数x和y分别逼近常数和&的问题。进而有:
15、z,z21=1z,
16、
17、z2I；^土么之二^土么；z,z2=Z!Z2；
18、—
19、=-；(―)==;
20、z
21、2=z-z"^2I^2I^2^2二复变函数(一)区域概念1.邻域：以复数z()为阅心以任意小£'半径做刺，閲内所有的点集合称为z()的邻域。2.及其邻域均属于点集E，则称为该点集的内点。3.若~及其邻域均不属于点集E，则称~为该点集的外点。4.点：若在zQ的邻域内即有E的点也有E外的点，境界点的全体称为境界线。5.区
22、域：满足以下条件的点集(1)全有内点组成。(2)具有连通性。6闭区域B及其境界线所组成的点集称为闭区域，以5表示。点集不一定是区域,但是区域一定是点集。(一)复变函数定义：在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)，对于E的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值o与之相对应，函数。记作69=/(Z)Z的域力E。(一)复变函数例1.指数复变函数：yf(cos)’+/siny)e協：=e27rie'~=ez(cos2^+zsin2兀、=e:2.正余弦复变函数:sinz=l(y:-fz)2/1,,cosz=—(^+e'‘)3.双曲正余弦函数：shz=-(e'~-e~z)2
23、chz=丄(¥+e~:)24.对数函数:lnz=ln(
24、z
25、eiArgz)=ln
26、z
27、+iArgz复变函数同样也可以归结为一对二元实变函数，因此实变函数重的许多公式也同样适用与复变函数。三导数1.若在B上的函数仍=/d在某点z极限lim=lim/(Z+心卜/(Z)存在,Az^->oAz并且与的方式无关，则称函数h-/(z)在Z点可导，此极限叫作函数/(z)在Z点的导数，以/(z)或1表示。dz2.柯西黎曼方程dudvdudv•—dxdy*dydx也叫柯西黎曼条件，是复变函数可导的必要条件3•极坐标系屮柯西一黎曼方程：笋=丄导；袈丄=-咎。dppd(pd(ppdp四解析函数1.解
28、析：若函数/(Z)在点i及其邻域上处处可导，则称/(Z)在Z。点解析。作69=/(Z)Z的域力E。(一)复变函数例1.指数复变函数：yf(cos)’+/siny)e協：=e27rie'~=ez(cos2^+zsin2兀、=e:2.正余弦复变函数:sinz=l(y:-fz)2/1,,cosz=—(^+e'‘)3.双曲正余弦函数：shz=-(e'~-e~z)2chz=丄(¥+e~:)24.对数函数:lnz=ln(
29、z
30、eiArgz)=ln
31、z
32、+iArgz复变函数同样也可以归结为一对二元实变函数，因此实变函数重的许多公式也同样适用与复变函数。三导数1.若在B上的函数仍=/d在某点z
33、极限lim=lim/(Z+心卜/(Z)存在,Az^->oAz并且与的方式无关，则称函数h-/(z)在Z点可导，此极限叫作函数/(z)在Z点的导数，以/(z)或1表示。dz2.柯西黎曼方程dudvdudv•—dxdy*dydx也叫柯西黎曼条件，是复变函数可导的必要条件3•极坐标系屮柯西一黎曼方程：笋=丄导；袈丄=-咎。dppd(pd(ppdp四解析函数1.解析：若函数/(Z)在点i及其邻域上处处可导，则称/(Z)在Z。点解析。1.解析函数：若/(z)在区域B上每一点都解析，则称/(z)是区域B
