数学物理方法1-5分式线性变换

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1、§1.5分式线性变换导数f'(z0)的幅角Argf'(z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的转动角.w=f(z)Argf'(z0)导数f'(z0)的模

2、f'(z0)

3、是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率。Z平面w平面复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）导数不为零的解析变换属于保角变换1分式线性变换的定义函数称为分式线性变换,简记为52分式线性变换的分解可分解为下述简单类型变换的复合6(I)(II)型变换的几何性质旋转位似(伸缩)平移平移映射此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换;

4、关于实轴的对称变换规定:无穷远点的对称点是圆心O.....83.分式线性变换的保圆周(圆)性对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:圆周(或直线)可表为它表示圆周或直线.9注在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.定理1.5.2关于圆周C的两个对称点，在分式线性变换下，它们的像点也是圆周C的像曲线的对称点.定理1.5.1分式线性变换在扩充复平面上是一一对应，且具有保圆性的保角变换.注分式线性变换的保对称性.补充定义10定理1.5.3注三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明先考虑已给各点都是有限

5、点的情形,设所求分式线性函数是那么，由11得同理，有因此，有12由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由同理有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。其次，如果已给各点除外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：13例3求将分别变为的分式线性变换.解所求的分式线性变换为整理得即14.........15解例5求线性变换变为上半平面,使将圆盘16即整理后得17六线性变换的应用由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处

6、理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型.例618事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时即实轴变为实轴是同向的,或解19例7解故20即故解该方程组得故所的线性变换为21例8解由线线变换的保对称性,22因此这个变换应具有形式,故可令从而所求的变换为23注1确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.注224例9解因此所求变换具有形式25利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令从而所求的变换为26注1确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.注2作业习题（P）1（1）（3）（5

7、）；228....2定理7.1证明29....303分式线性变换的保对称性定理7.12证明由分式线性变换的保角性,由定理7.11,31五分式线性变换的保对称性1定义7.5注证明“必要性”32则所以“充分性”33例1034解作线线变换复合上述两个变换得整理得35即由得从而所求的变换为36例11解(1)先作伸缩变换(2)再作平移变换37使得于是(4)排列对应点38(5)将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为39