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1、第七讲分式线性变换形如的分式函数,即等价于,为分式线性变换.l是上的双射.设,,即.l也是分式线性变换.l特别地,1反演变换形如的变换,称为反演变换(如图7.1).2相似变换(1)平移变换:(如图7.2).(2)旋转变换:(如图7.3).(3)伸缩变换:(如图7.4).综上:相似变换统一写成.引理1形如的分式线性变换必是一系列相似变换与反演变换的复合;反过来,相似变换与反演变换的复合也是某个分式线性变换.证明:()case1:是相似变换.case2:,即如下复合:()设,要证也是分式线性变换.经过计算,得为分式线性变换.证毕.反演变换的性质ü保
2、圆周性定理2分时线性变换将圆周(或直线)映为圆周(或直线).证:(方法一)是和的复合而成的只需讨论或的形式,其中,后一情形显然.只讨论的情形.圆周曲线的方程为其中,.(当时,是直线方程).代入得到依然为圆周曲线的方程.得证.(方法二)(1)圆周方程也可写为如图7.5,在反演变换下,像可写为case1:圆周不过原点(即)时,像为依然是圆周曲线的方程.case2:圆周过原点(即),像为,得证.(2)直线方程,即,在反演变换下:case1:当时,像是圆周曲线.case2:当时,像是直线.ü保交比性定义在中取,则交比.注:若,则.保交比性分时线性变换,
3、设,则.ex1:已知圆周上有三点(如图7.6),求使得.解:由保交比性得,即.ü保边界性复函数,其定义域为区域,则值域也是区域；设是的边界,则是的边界.若指定定向,则保持定向.注:沿区域的边界行走时,区域总在左边(如图7.7).ex2:如图7.8,设,求.解:边界,也是的边界,由知,所以边界仍为实轴.定向从左到右,由知定向从右到左必是下半平面.ü保对称性称平面上的点关于圆周或直线对称,设,case1:当为直线时,关于对称,即通常意义下是镜像对称；case2:当为圆周时,的方程为关于对称三点一线,并且他们之间的距离满足.若且关于对称,则关于对称.
4、ex3:求满足(如图7.9).解:与关于实轴对称,由保对称性与关于对称可推出由保边界性,故,即可设,则代入得由条件得.更一般的变换在上解析且,称为解析变换.ü保角性如图7.10,是曲线在点处的夹角,则在点处的夹角也是.设曲线,在点处的切线方向为,设曲线,曲线在点处的切线方向为与在点处的夹角与的夹角,即,如图7.11.设解析变换(也就是解析函数),在处满足,同上,设在处相交(记号同上)如图7.12解析函数是对应的方程,有(1)解析函数是对应的方程,有(2)上(1)(2)两式相减得由定义由上式得,该性质称为保角性.注:有定义.引理1设在上解析且,则
5、在上每点保角.注:若是上单叶解析函数,则称为共形映射(保形映射).
