高等工程数学(I)-线性变换(Wi

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1、线性变换定义§2线性变换及其矩阵表示设V1，V2为线性空间，若V1→V2的映射T满足：对任意的，有则称T为V1→V2的线性变换.例子例1§2线性变换及其矩阵表示在线性空间Pn(t)中定义变换则T是Pn(t)→的线性变换.？Pn-1(t)给定，则有由矩阵的运算法则可知A是的线性变换.例2线性变换的性质§2线性变换及其矩阵表示②也线性相关.③若线性相关，则①问是否也线性无关？若线性无关，问线性变换的矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示设是Vn的一个基是Vm的一个基T是Vn→Vm的线性变换称A为T在基偶{,}下的矩阵.T

2、=[T1,T2,…,Tn]A像的坐标§2线性变换及其矩阵表示例3设的线性变换T定义为：试求T在基下的矩阵.注：若T是V到自身的变换，则基偶可取为{,}此时称T在基偶下的矩阵为T在基下的矩阵.§2线性变换及其矩阵表示设是Vn的一个基是Vm的一个基对Vn→Vm的任一线性变换T，存在矩阵A，使得T=A对任意的Vn，设在基Vn下的坐标为x，则有T=T(x)=(T)x=Ax即像T在基Vm下的坐标为Ax.可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研

3、究.零空间与值空间§2线性变换及其矩阵表示则有nullTdim(T)=dim(A)=n–rankArankTdim(T)=dim(A)=rankA称nullT为T的零度，rankA为T的秩，且有类似地定义(T)={Vn

4、T=O}(T)={Vm

5、=T，Vn}称(T)为T的零空间(核)称(T)为T的值空间(值域)§2线性变换及其矩阵表示变换在不同基偶下矩阵之间的关系设,′是Vn的两个基，,′是Vm的两个基.在基偶,下有T=A问矩阵A与B有什么关系？在基偶′,

6、′下有T′=′B§2线性变换及其矩阵表示变换在不同基偶下矩阵之间的关系设,′是Vn的两个基，,′是Vm的两个基.在基偶,下有T=A在基偶′,′下有T′=′B设基变换渡矩阵分别为P，Q，即线性变换在不同基偶下的矩阵是相互等价的.′=P，′=Q§2线性变换及其矩阵表示变换在不同基偶下矩阵之间的关系设T是Vn到自身的线性变换，,′是Vn的两个基.在基下有T=A问矩阵A与B有什么关系？在基偶′下有T′=′B§2线性变换及其矩

7、阵表示变换在不同基偶下矩阵之间的关系设T是Vn到自身的线性变换，,′是Vn的两个基.在基下有T=A在基偶′下有T′=′B设基变换渡矩阵P，即′=P线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是相似的§2线性变换及其矩阵表示即与等价线性变换即与相似到自身线性变换从现在开始主要研究的线性变换。§2线性变换及其矩阵表示线性变换矩阵表示的化简设T是Vn到自身的线性变换.则T在基′=P下的矩阵为问题怎样求基′，使得T在下的矩阵有较简单的形式？分析：任取V的一个基，且T=A.若将方阵A

8、相似化简为B，即考虑两种简单形式的矩阵：①分块对角阵②对角矩阵？§2线性变换及其矩阵表示不变子空间定义定义设，是的子空间，若有，则称是的不变子空间，记为例，记的核与值域分别为则均是的不变子空间。§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表

9、示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示§2线性变换及其矩阵表示