高等代数第七章线性变换

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1、§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵一、线性变换的定义二、线性变换的简单性质§7.1线性变换的定义§7.1线性变换的定义引入在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应.我们常称线性变换.映射.本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性§7.1线性变换的定义一、线性变换的定义设V为数域P上的线性空间，若变换满足：则称　为线性空间V上的线性变换.§7.1线性变换的定

2、义注：几个特殊线性变换由数k决定的数乘变换：事实上，单位变换(恒等变换)：零变换：§7.1线性变换的定义例1.(实数域上二维向量空间)，把V中每一向量绕坐标原点旋转　角，就是一个线性变换，表示，即用这里，易验证：§7.1线性变换的定义例2．为一固定非零向量，把V中每一个向量　变成它在　上的内射影是V上的一个线性变换.用　表示，即这里　　　　　　表示内积.易验证：§7.1线性变换的定义例3．　　　　　　　上的求微商是一个线性变换，用D表示，即例4.闭区间　　上的全体连续函数构成的线性空间是一个线性变换.上的变换§7.1线性变换的定义1．为V的线性变换，则2．线性变换保持线性

3、组合及关系式不变，即若则3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关二、线性变换的简单性质的向量组.即§7.1线性变换的定义若　　　　　线性相关，则也线性相关.事实上，若有不全为零的数　　　　　使则由2即有，线性相关的向量组.如零变换.事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成注意：3的逆不成立，即线性相关，　　　　　未必线性相关.§7.1线性变换的定义练习：下列变换中，哪些是线性变换？3．在线性空间V中，非零固定.4．在　　中，固定.2．在　　中，1．在　中，5．复数域C看成是自身上的线性空间，6．C看成是实数域R上的线性空间，√√√√§7.1线性变换的定义