高等代数第七章 线性变换复习讲义

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1、第七章线性变换一.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的一个线性变换。（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.它们都是V的线性变换。（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），

2、任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A（α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,αs线性无关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性无关。3.线性变换的运算运算公式定义线性变换性质乘积(AB)(α)=A(B(α))(α∈V)是(AB)(α+β)=(AB)(α)+(AB)(β);(AB)(kα)=k(AB)(α),这说明AB是线性的.有结合律:εA=Aε=A,一般无交换律，消去律。和（加法）（A+B）（α）=

3、A(α)+B(α)(α∈V)是(A+B)（α+β）=（A+B）（α）+（A+B）（β）；（A+B）（kα）=k（A+B）（α）;这是A+B是线性变换。a.有结合律和交换律，A+(B+ζ)=（A+B）+ζ，A+B=B+A；b.零变换ο：A+ο=A；c.负变换也是线性的：（-A）（α）=-A（α）d.线性变换的乘法对加法有左右分配律：A(B+ζ)=AB+Aζ，（B+ζ）A=BA+ζA；数量乘法kA=KA即(kA)(α)=K(A(α))=KA(α)是它有结合律和两种分配律逆变换A-1=B，AB=BA=ε是线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A-1也是

4、线性变换。A-1（α+β）=A-1（α）+A-1(β)，A-1(α)=kA-1(α)幂AA…A=An,A0=EA（m+n）=Am+An,(Am)n=Amn,A-n=(A-1)n;值得注意的是（AB）n不等于AnBn多项式f（A）=amAm+…+a0+ε是如果在P[x]中有h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)+g(x)，那么h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)+g(A)，特别地，f(A)g(A)=g(A)f(A)，即同一个线性变换的多项式的乘法是可变换的。总结：线性空间上V的全体线性变换，也构成P上一个线性空间。4.线性

5、变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，对于V中任意一组向量α1，α2，…,αn,存在唯一一个线性变换A使Aεi=αi,i=1,2，…,n.二．线性变换的矩阵1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn……Aεn=a1nε1

6、+a2nε2+…annεn用矩阵表示就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中a11a12……a1na21a22……a2nA=……an1an2……ann称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。2.线性变换与其矩阵的关系（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。3.α与A(α)在同一组基下的坐标之间的关系设A在基α1，α2，…,αn下的矩阵为A，对任意α∈V，设α在基α1，α2，…,αn下的

7、坐标为（x1,x2,…,xn）,即α=（α1，α2，…,αn）x1，则A（α）=A（（α1，α2，…,αnX1)=[A(α1,α2,…,αn)]x1=(α1,α2,…,αn)Ax1.即A（α）在基α1,…,…………XnxnXnxnαn下的坐标是A（α）=Ax14.同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系设α1，α2，…,αn和β1，β2，…,βn是V的两组基，且α1，α2，…,αn到β1，β2，…,βn的过渡矩阵为T，即（β1，β2，…,βn）=（α1，α2，…,αn）T，T是n级可逆矩阵，若A在基α1，α2，…,αn下的矩阵为A，则A在基β1

8、，β2，…,βn下的矩阵为T1AT，它和A在基α1，α2，…,αn下的矩阵A是相似的，即同一个线性变换在不同基下的矩阵相似。三．特征值和特征向量1．特征值与特