[高等代数(下)课外习题 第七章 线性变换]

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1、第七章线性变换一、判断题1、在向量空间中,,则是的一个线性变换.().2、是向量空间的线性变换,向量组线性相关,那么也线性相关.().3在向量空间中,则微商是一个线性变换.().4、线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的.().5、相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵.().6、向量空间的线性变换的象与核都是的不变子空间.().7、属于线性变换同一特征根的特征向量的线性组合仍是的特征向量.().8、在一个基下可以对角化,则在任何基下可以对角化.().9、设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝，有　（　　）10、阶方阵A至少有一特征值为零的充分必要条件是．()

2、11、.最小多项式是特征多项式的因式.（）12、相似的矩阵有相同的特征多项式（）13、设，的特征多项式有个单根，则存在可逆矩阵，使具有对角形。（）14、若是数域上维线性空间的线性变换，的特征值为，则可对角化特征子空间的维数之和等于。（）15、是维线性空间的一个线性变换，则。（F）二、填空题1、在的基下的矩阵是那么关于基的矩阵是_____________.2、在中的线性变换,那么关于基的矩阵是________________.3、的___________都是的属于的特征向量.4、设是数域上的维向量空间,的不同的特征根是,则可对角化的充要条件是_____________.5、矩

3、阵的特征根是______________.6、复矩阵的全体特征值的和等于________，而全体特征值的积等于_______.7、数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为_______维线性空间，它与________同构.8、设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为________.9、设，则向量是A的属于特征值的特征向量．10、若与相似，则=．11、阶方阵A满足，则的特征值为．12、设A是有限维空间V的线性变换，f(λ)是A的特征多项式，那么f(A)=________13、已知三阶实对称矩阵的特征值为1，，3，则的特征值为。14、的最小多项式分别是，则

4、矩阵的最小多项式是。15、设四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式。三、单选题：1、“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（）条件。充分必要充分必要D.以上都不对2、若线性变换与是（），则的象与核都是的不变子空间。互逆的可交换的不等的D.不可换的3、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）①合同的；②相似的；③相等的；④正交的。4、设三阶方阵有特征值为，其对应的特征向量分别是，设，则=()A.B.C.D.5、设为可逆方阵，则的特征值（）A．全部为零B.不全部为零C.全部非零D.全为正数6、设为阶可逆矩阵,是的一个特征值,为的伴随矩阵,则的特征值之一()A.B.C.D.7、设

5、、为阶方阵，且与相似，为阶单位阵，则（）。（A）（B）与有相同的特征值和特征向量（C）与相似于一个对角矩阵（D）对任意常数，相似8、阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是（）。（A）的个特征值互不相同（B）可逆（C）无零特征值（D）有个线性无关的特征向量9、设可逆矩阵有一个特征值为2，则有一个特征值为（）。（A）（B）（C）（D）10、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的（）（A）充要条件(B)充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分亦非必要条件四、计算题1、设与相似．（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使．2、中，线性变换关于基，，的矩阵为（1）求关于

6、标准基的矩阵；（2）设,,求关于基的坐标．3、设是的线性变换,（1）求的一个基和维数；（2）求的一个基和维数．4、判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形.5、在线性空间Pn中定义变换σ：（1）证明：σ是Pn的线性变换.（2）求与6、已知矩阵A=与B=相似，求x和y的值，并求A的特征向量。7、的线性变换为求的象与核的维数.8、设三阶实对称矩阵的特征值为对应的特征向量为，（1）求对应的特征向量；（2）求矩阵。9、设3阶对称矩阵的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为，求。10、判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形.。

7、五、证明题1、证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。2、的两个线性变换为：对任意，证明：.3、证明：若，则，其中是中多项式与的最大公因式。4、令是中任意向量，是线性变换:试证可逆。5、设的两个线性变换与是可变换的。试证的象与核都是的不变子空间。6、若A是一个n阶矩阵，且A2＝A，则A的特征值只能是0和1.1．设A是阶矩阵，且有，，证明：-1是A的特征值．7、设与为阶矩阵，，则与相似。8、设为正定矩阵，证明：。