资源描述：
《高等代数习题线性变换.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章线性变换3例1.在向量空间R中，线性变换s,t如下：s(x1,x2,x3)＝(x1,x2,x1＋x2)t(x1,x2,x3)＝(x1＋x2－x3,0,x3－x1－x2)2(1)求st,ts,s；(2)求s＋t,s－t,2s。解:(1)st(x,x,x)=s(x+x-x,0,x-x-x)=123123312(x+x-x,0,x+x-x)=t(x,x,x),st=t.123123123ts(x,x,x)=t(x,x,x+x)=(0,0,0),ts=0123121222s(x,x,x)=s(x,x,x+x)=(x,x,x+x).s=s。12312121212(2)(s+t
2、)(x,x,x)=s(x,x,x)+t(x,x,x)123123123=(x,x,x+x)+(x+x-x,0,x-x-x)1212123312=(2x+x-x,x,x)。12323(s-t)(x,x,x)=s(x,x,x)-t(x,x,x)123123123=(x,x,x+x)-(x+x-x,0,x-x-x)1212123312=(-x+x,x,2x+2x-x)。2321232s(x,x,x)=2(x,x,x+x)=(2x,2x,2x+2x)。12312121212例2.证明：可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。证明:令s是向量空间V的可逆线性变换,a,a,L,
3、a是V的一组线性无关的12m向量。-1令ks(a)+ks(a)+L+ks(a)=0.两端用s作用得:1122mmka+L+ka=0.由已知a,a,L,a线性无关,所以:k=k=L=k=0.故11mm12m12ms(a),s(a),L,s(a)线性无关。12m１例3.设s是向量空间V的可逆线性变换，证明(1)s的本征值一定不为0；1－1(2)如果l是s的本征值，那么是s的本征值。l证明:(1)假设s有一本征值为0,则存在x≠0,xÎV,使得-1s(x)=0·x=0.因为s可逆,所以s(s(x))=0,即x=0.矛盾。(2)设l是s的本征值,由(1)得l≠0,且有s(x)=lx,x
4、≠0。-1-1-11s(s(x))=ls(x).即s(x)=x,所以结论成立。l例4.设l,l是n阶矩阵A的两个不同的特征根，X,X是分别属于l,l的特121212征向量。证明X+X不是A的特征向量。12证：由已知条件AX=lX,AX=lX，如果X+X是A的一个特征向量，11122212那么A(X+X)=l(X+X)，其中l是A的一个特征根，从而1212lXXXX+l=+ll，即(l-l)X+(l-l)X=0，但X,X线性无关，故112212112212l-l=0,l-l=0，由此得l=l=l，与l¹l矛盾，故X+X不是A的12121212特征向量。例5.试证：如果A,B是两个
5、n阶方阵，则AB与BA有相同的特征多项式；-1证：若A是可逆矩阵，则BA=A(AB)A，于是--11lE-=BAlEA-(AB)()A=AllE-ABA=-EAB。即AB与BA有相同的特征多项式。若A不可逆，因为A至多有n个不同的特征根，所以存在实数t。当t>t时，00都有A-tE¹0，故A-tE是可逆矩阵，于是B(A-tE)与(A-tE)B有相同的特征多项式。２即lE-B(A-tE)=lE-(A-tE)B，也就是(lE-BA)+tB=(lE-AB)+tB，对于每一个固定的l值，上式两端是两个关于t的次数不超过n的多项式。当t>t0时，它们的值相等，由于t的个数大于n，所以上式
6、两个关于t的多项式恒等，当t=0时候，得lE-BA=lE-AB，即AB与BA有相同的特征多项式。121110986542例6..设f(x)=x+2x-2x-3x-2x+9x-4x+x-6x+11x，æ102öç÷-1A=ç0-11÷，求（1）A的特征根，（2）A的特征根，（3）f(A)，（4）f(A)ç÷è010ø的特征根。l-10-22解：（1）lE-A=0l+1-1=(l-1)(l+l-1)=00-1l-1±5l=1,l=为A的特征根。12..32-1111+51-5（2）A的特征根为m=,m==,m=123ll2212æ7012öç÷（3）f(A)利用哈密顿——剀莱定理
7、，得f(A)=6A+E=ç0-56÷ç÷è061ø（4）f(A)的特征根为l=7,l=-2+35,l=-2-35123æ122öç÷100例7.设三阶矩阵A=ç212÷，求A。ç÷è221øl-1-2-22解：lE-A=-2l-1-2=(l-5)(l+1)A的特征值为-2-2l-1l=5,l=l=-1123'''l=5的特征向量为(1,1,1),l=l=-1的特征向量为(1,0,-1),(0,1,-1)123３æ110öæ111öç÷1ç÷-1P=ç101÷P=ç2-1-1÷3ç÷ç÷è
