高等代数教案第6章线性变换.pdf

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1、《高等代数》教案-6-第6章线性变换第六章线性变换Ⅰ.授课题目§6.1线性变换§6.2线性变换运算§6.3线性变换的矩阵§6.4不变子空间§6.5特征值与特征向量§6.6矩阵的相似对角化§6.7Hamilton-Cayley定理与最小多项式§6.8Jordan标准形Ⅱ.教学目的与要求1.理解线性变换、线性变换的矩阵以及线性变换的矩阵等概念；2.掌握特征值与特征向量的定义、性质、和计算法；3.理解线性变换的值域与核的概念，掌握不变子空间的定义与性质；4.掌握相似矩阵的概念和性质，以及相似对角化方法；5.理解Jordan标准形、最小多项式的概念与性质.Ⅲ.重点与难点重点:特征值与

2、特征向量的性质与计算，矩阵的相似对角化；难点:相似对角化，不变子空间.Ⅳ.教学内容§6.1线性变换1.线性变换定义6.1设V是数域P上的线性空间，s是V的一个变换（即从V到V自身的映射），如果对于V中的任意两个向量ab,和数域P中的任意数k，都有s(a+b)=+s(a)sb()，s(kka)=sa()，则称s是V的一个线性变换.nn´n例6.1设APÎ，对任意aÎP，定义s(aa)=A，n则s是线性空间P的一个线性变换.例6.2线性空间V的恒等变换（或称单位变换）e，即第1页共40页《高等代数》教案-6-第6章线性变换e(a)=Îaa(V)，以及零变换o，即oV(aa)=Î0

3、()都是线性变换.例6.3设V是数域P上的线性空间，k是P中某个固定的数，定义k(a)=ÎkVaa()，则k是V的一个线性变换，称之为数乘变换或相似变换或位似.显然，当k=1是它是恒等变换，当k=0便是零变换.例6.4在线性空间Px[]中，定义d(f(x))=Îf¢(x),f(x)Px[]，1则d是线性空间Px[]的一个线性变换.例6.5在线性空间C[ab,]中，定义xt(f()x)=Îòf()xdx,,f()xC[ab]a则t是线性空间C[ab,]的一个线性变换.2.线性变换的性质性质1设s是V的一个线性变换，则s(0)=0,,s(-a)=-s(aa)"ÎV.性质2线性变换

4、保持线性组合不变，即s(k1a1+k2a2+×××+krar)=k1s(a1)+kk22s(a)+×××+rrsa().性质3线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.注性质3的逆命题不成立，即线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组.但是，当线性变换可逆时，把线性无关的向量组一定变成线性无关的向量组.定理6.1设V是数域P上的线性空间，如果e,ee,,×××的V的一个基，a,aa,,×××是V的任12n12n意给定的一组向量，那么存在唯一的线性变换s，使得s(eaii)=,in=1,2,×××,.证设a是V中任意一个向量，设a=ae+aaee+×××+，定义

5、1122nns(a)=aa+aaaa+×××+，1122nn先证s是V的一个线性变换.nnn事实上对任意ab,ÎV，设ae=åaii，be=åbii，则a+be=+å(abiii).因此i=1i=1i=1第2页共40页《高等代数》教案-6-第6章线性变换nnnnæös(a+b)=sç÷å(ai+bi)ei=å(ai+bi)ai=ååabiai+iia=+s(a)sb()；èøi=1i=1ii==11n其次，对kPÎ，ae=ÎåaVii，则i=1nnnæös(ka)=sç÷åkaiei=ååkaiai==kakiiasa().èøi=1ii==11因此，s是V的一个线性变换.显

6、然s(eaii)=,in=1,2,×××,.即这样的线性变换是存在的.n设t也是满足条件的线性变换，则对任意ae=ÎåaVii，i=1nnnæös(a)=åais(ei)=ååaait(ei)==tç÷iieta().i=1ii==11èø故st=.证毕.推论设V是数域P上的线性空间，如果e,ee,,×××的V的一个基，st,是V的两个线性变换，12n如果s(eii)=te(),in=1,2,,×××，那么st=.定理6.1和推论说明，线性空间V上的线性变换完全由它的一组基的像唯一决定.小结：线性空间，子空间，子空间的判定，子空间的和与交课外作业：P1521（1）～（4），2

7、；P1711～2§6.2线性变换的运算1.线性变换的加法与数量乘法设V是数域P上的n维线性空间，LV()表示V上全体线性变换的集合.对于任意两个线性变换st,ÎLV()，定义它们的和st+：(s+t)(a)=s(a)+Ît(aa)(V).则st+ÎLV().事实上，(s+t)(a+b)=s(a+b)++t(ab)=+s(a)s(b)++t(a)tb()=s(a)+t(a)++s(b)tb()第3页共40页《高等代数》教案-6-第6章线性变换=(s+t)(a)++(stb)()，(s+t)(ka)=+s(