高等代数第7章线性变换[1]PPT课件.ppt

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1、第7章线性变换§1线性变换的定义§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§5对角矩阵§6线性变换的值域与核§7不变子空间§8Jordan标准形介绍§9最小多项式1.，§1线性变换的定义一、线性变换的概念定义线性空间V到其自身的映射称为线性空间V的一个变换.2.定义设V是数域P上的n维线性空间,A:V®V为V的一个变换,若对任意a,bÎV和数kÎP,都有A(a+b)=A(a)+A(b)A(ka)=kA(a)则称A是线性空间V的一个线性变换.(lineartransformation).称A(a)或Aa为向量a在线

2、性变换A下的象(image)．3.例1(1)设A:V®V,若关于任意aÎV,都有A(a)=0,则称A为零变换,记作O.(2)设A:V®V,若关于任意aÎV,都有A(a)=a,则称A为恒等变换,(identitytransformation),记作E.注零变换和恒等变换都是线性变换.4.例2设A:V®V,k是数域P中常数。定义A(a)=ka,"aÎV则A是V的一个线性变换。因为A(a+b)=k(a+b)=ka+kb=A(a)+A(b)A(la)=k(la)=l(ka)=lA(a)通常称上述变换为数乘变换或位似变换.用K表示.当k

3、=0时，K为零变换O；当k=1时，K为恒等变换E．5.例3设rq是把平面上的向量绕坐标原点反时针旋转q角的变换.设a=(x,y)T,rq(a)=(x’,y’)T,则(因为x’=

4、rq(a)

5、cos(j+q)=

6、rq(a)

7、(cosjcosq-sinjsinq)=xcosq-ysinq同样y’=xsinq+ycosq)。6.记A=则rq(a)=Aa，称为旋转变换.可以证明旋转变换rq是一个线性变换。（如何证明？）7.例4设A:R3®R3,"a=(a1,a2,a3),定义A(a)=(a1,a2,0),易证A是线性变换.它是把向量a

8、投影到平面Oxy上,称为投影变换例5设A:R2®R2,a=(a1,a2),定义A(a)=(a1,-a2),则A是线性变换,称为镜面反射或反射变换.8.例6线性空间P[x]或Pn[x]中,定义D为求导数的变换，即D(f(x))=f’(x)"f(x)ÎPn[x]D是一个线性变换，称为微分变换.例7闭区间[a,b]上所有连续函数全体组成实数域R上的线性空间C0(a,b).定义变换J(f(x))=则J是一个线性变换.9.二、线性变换的简单性质1、设A是线性空间V的一个线性变换,则A(0)=0,A(-a)=-A(a)2、线性变换保持向量

9、的线性组合与线性关系式不变.即若b=k1a1+k2a2+…+ksas则A(b)=k1A(a1)+k2A(a2)+…+ksA(as)10.3、线性相关的向量组经线性变换后其象向量组仍线性相关．即a1,，a2，…，as线性相关则A(a1,)，A(a2)，…，A(as)也线性相关11.注线性无关向量组的象向量组未必线性无关．即a1，a2，…，as线性无关推不出A(a1)，A(a2)，…，A(as)也线性无关。12.§2线性变换的运算设V是数域P上的线性空间,V的所有线性变换的集合记作L(V).设A,BÎL(V)，若对于所有的aÎV，

10、都有A(a)=B(a)，则说A,B是相等的，记作A=B．下面在L(V)中引入乘法、加法、数乘运算．13.一、线性变换的乘法及其性质设A,BÎL(V),定义A与B的乘积为V的一个变换,"aÎV,有(AB)(a)=A(B(a))．1.AB也是线性变换．证因为"a,bÎV和"k,lÎP,有(AB)(ka+lb)=A(B(ka+lb))=A(kB(a)+lB(b))=A(kB(a))+A(lB(b))=kA(B(a))+lA(B(b))=k(AB)(a)+l(AB)(b)．14.2、乘法适合结合律,即(AB)C=A(BC)因为映射的合

11、成满足结合律3、乘法不满足交换律,即一般地AB¹BA如求微分变换D与求积分变换J,有DJ=E,但一般地JD¹E4、单位变换的作用AE=EA=A5、零变换的乘法OA=AO=O15.二、线性变换的加法及其性质设A,BÎL(V),定义A与B的和为V的一个变换,使"aÎV,有(A+B)(a)=A(a)+B(a)．1、A+B也是V的一个线性变换．因为对于所有的a,bÎV和数k，lÎP,有(A+B)(ka+lb)=A(ka+lb)+B(ka+lb)=kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b)=k(A+B)(a)+l(A+B)(b)16

12、.2、(1)交换律A+B=B+A(2)结合律(A+B)+C=A+(B+C)(3)零变换A+O=A(4)负变换A+(-A)=O其中(-A)(a)=-A(a),从而(A-B)=(A+(-B))3、分配律A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AC+BC17.三、线性变换的数量乘法及