高等代数课件.ppt

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1、第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算2.2多项式的整除性2.3多项式的最大公因式2.4多项式的分解2.5重因式2.6多项式函数多项式的根2.7复数和实数域上多项式2.8有理数域上多项式2.9多元多项式2.10对称多项式课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论课外学习3：代数与代数基本定理的历史课外学习4：推广的余数定理及算法课外学习5：代数元的多项式的共轭因子代数是搞清楚世界上数量关系的工具。――怀特黑德（1961－1947）当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。--柯普宁(前苏联哲学家)快乐地学习数学，优雅地欣赏

2、数学。――匿名者2.1一元多项式的定义和运算一、内容分布2.1.4多项式的运算二、教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.三、重点、难点一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。2.1.1认识多项式2.1.2相等多项式2.1.3多项式的次数2.1.5多项式加法和乘法的运算规则2.1.6多项式的运算性质2.1.1认识多项式多项式令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式这里n是非负整数而都是R中的数.一元多项式常用符号来表示.注1：在多项式(1)中,叫做零次项或常数项,叫做i次项,叫做i次项的系数.2：在一个多项式中，可以任意

3、添上或去掉一些系数为零的项；若是某一个i次项的系数是1，那么这个系数可以省略不写。2.1.2相等多项式定义若是数环R上两个一元多项式,f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和g(x)就说是相等.f(x)=g(x)2.1.3多项式的次数叫做多项式的最高次项,非负整数n叫做多项式的次数.记作注：系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式，记为0.2.1.4多项式的运算多项式的加法给定数环R上两个多项式且m≤n,f(x)和g(x)的加法定义为这里当m

4、5多项式加法和乘法的运算规则（1）加法交换律:（2）加法结合律:（3）乘法交换律:（4）乘法结合律:（5）乘法对加法的分配律:注意：要把一个多项式按“降幂”书写当时，叫做多项式的首项.2.1.6多项式的运算性质定理是数环R上两个多项式,并且.那么（i）当时,（ii）证:且那么（1）（2）由（1），的次数显然不超过n，另一方面，，所以由(2)得的次数是n+m.推论2证由得。但所以由推论1必有,即证若是中有一个是零多项式，那么由多项.若是那么由上面定理的证明得式乘法定义得或推论1当是什么数时，多项式（1）是零多项式？（2）是零次多项式？例2.2多项式的整除性一、内容分布2.2.1多项

5、式的整除概念2.2.2多项式整除性的一些基本性质2.2.3多项式的带余除法定理2.2.4系数所在范围对整除性的影响二、教学目的1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。2．熟练运用带余除法。三、重点、难点多项式的整除概念，带余除法定理2.2.1多项式的整除概念设F是一个数域.F[x]是F上一元多项式环.定义1，如果存在，使得，则称整除，记为，此时称是的因式，否则称不能整除，记为2.2.2多项式整除性的一些基本性质（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2.2.3多项式的带余除法定理定理，且，则存在使得这里，或者并且满足上述条件的只有一对。注1：分别称为所得的商式和余式注2：证：先证

6、定理的前一部分.（i）若,或.则可以取（ii）若,且按降幂书写:这里,并且，并记有以下性质：或者若是.则对重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：使得而由于多项式的次数是递降的,故存在k使，于是便给出了所说的表示。现在证明定理的后一部分．假设f(x)有两种符合定理中要求的表示法：那么上式右边或者为零，或者次数小于而左边或者是零，或者次数不小于因此必须两边均为零，从而2.2.4系数所在范围对整除性的影响是两个数域，并且，那么多项式环含有多项式环F[x]．因此Ｆ上的一个多项式也是上的一个多项式．，则如果在F[x]里不能整除，那么在里也不能整除事实上，若，那么由于在F[x]里不能

7、整除不能等于0．因此在里显然仍不能整除假定，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：并且．但是F[x]的多项式都是的多项式，因而在里，这一等式仍然成立．于是由的唯一性得出，在里也不能整除例1确定m，使例2设适合什么条件时，整除。问2.3多项式的最大公因式一.内容分布2.3.1多项式公因式,最大公因式,互素概念2.3.2用辗转相除法求最大公因式.二.教学目的1.掌握最大公因式,互素概念.2.熟练掌握辗转相除法3.会应用互素的性质证明整除问题三.重点,难点辗转相除法求最大公因式.证明整除问题