高等代数下复习ppt课件.ppt

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1、高代复习大纲2012春题型选择题填空题小计算题大计算题证明题主要内容二次型线性空间线性变换-矩阵欧几里得空间二次型合同变换化标准形正惯性指数、负惯性指数、符号差实二次型、复二次型的合同的等价条件定理：数域P上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.实对称矩阵A、B合同的正惯性且二次型指数相等.复对称矩阵A、B合同实二次型正定性定义正定矩阵2)实对称矩阵A正定存在可逆矩阵C，使.正定矩阵是可逆矩阵.A的顺序主子式Pk全大于零.正定实二次型例用合同变换求下面二次型的标准形r1+r2c1+c2解：的矩阵为r3+r1r2－　r1c3+c1c2－　c1－2r2－

2、2c2c3+2c2r3+2r2作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形令则例、判定下面二次型是否正定.其顺序主子式正定.解：的矩阵解：的矩阵A的第k阶顺序主子式Pk（习题7）正定.例5、证明：为半正定二次型.（习题15）证法一：对任意一组不全为0的数,有故，f半正定.证法二：考虑二次型则则对线性空间线性空间定义基、坐标过渡矩阵扩基定理直和４个等价条件同构定义数域P上的两个有限维线性空间　　同构例（1）证明：线性空间P[x]n是n维的，且（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn-1为P[x]n的一组基．

3、也为P[x]n的一组基．证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．∴1，x，x2，…，xn-1为P[x]n的一组基，从而，P[x]n是n维的.其次，可经1，x，x2，…，xn-1线性表出．注：在基1，x，x2，…，xn-1下的坐标就是此时，（2）1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1是线性无关的．又对，按泰勒展开公式有即,f(x)可经1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1线性表出.∴1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n-1为P[x]n的一组基．在基1，x-a，(x-a)2，…，(x-a)n－1下的坐标是注：此

4、时，下的坐标，其中解：设，则有线性方程组解之得，．∴ξ在基下的坐标为．例5在线性空间　中求向量　　　　　在基例1在Pn中，求由基到基过渡矩阵．其中的过渡矩阵及由基到基的并求向量在基下的坐标.而，∴解：∵到基由基的过渡矩阵为故，由基到基的过渡矩阵为在基　　　　　下的坐标就是设　在基　　　　　下的坐标为　　　　　　，则所以　在基　　　　　下的坐标为例2在P4中，求由基到基的过渡矩阵，其中解：设则有或，从而有∴由基到基的过渡矩阵为它扩充为P4的一组基，其中例7求　　　　　　　的维数与一组基，并把解：对以　　　　　　　为列向量的矩阵A作初等行变换由B知

5、，　　　　为　　　　　　　的一个极大故，维　　　　　　　　＝3，就是　的一组基.无关组.则　　　　　线性无关，从而为P4的一组基.例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，证：证维数相等.证明：首先，　　　　可表成其次，若则所以，1，i为C的一组基，又，所以，故，线性变换线性变换定义线性变换的矩阵相似矩阵特征值、特征向量可对角化定义哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理定理设为维线性空间V的一个线性变换，则可对角化　有个线性无关的特征向量.线性变换值域与核定义若当标准形例1.设线性空间　的线性变换　为求　在标准基　　　　下的矩阵.解

6、：例3.设为线性空间V一组基，线性变换　在这组基下的矩阵为为V的另一组基，且（1）求在下的矩阵B.（2）求解：（1）由定理4，　在基　　　下的矩阵（2）由　　　　　　有于是解：A的特征多项式例2.设线性变换　在基下的矩阵是求　的特征值与特征向量.故　的特征值为：　　　（二重）把代入齐次方程组　　　　　　　得即它的一个基础解系为：因此，属于的两个线性无关的特征向量为而属于的全部特征向量为不全为零因此，属于5的一个线性无关的特征向量为把代入齐次方程组　　　　　　　得解得它的一个基础解系为：而属于5的全部特征向量为例3.设　　　　　　　求解：A的特征

7、多项式用　　去除得练习1：已知　　　　　　为A的一个特征值，则（1）　　　　　必有一个特征值为;（2）　　　　　必有一个特征值为;（3）A可逆时，　必有一个特征值为;（4）A可逆时，　必有一个特征值为.（5）　　则　　必有一个特征值为.例2.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使为对角矩阵.这里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为对于特征值2，求出齐次线性方程组对于特征值－4，求出齐次方程组的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）的一个基础解系:令则所以A可对角化.线性变换　在此基下的矩阵为1)求及2)在中选一组基，把它扩

8、充为V的一组基，并求在这组基下的矩阵.并求在这组基下的矩阵.3)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，例3、设　　　　　是线性空间V的一组基，已知解：1