《高等代数教案》ppt课件

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1、高等代数(HigherAlgebra)张禾瑞郝鈵新高教出版社（第五版）课件制作深圳大学数学与计算科学学院：王晓峰Ch.1基本概念Ch.2多项式Ch.3行列式Ch.4线性方程组Ch.5矩阵Ch.6线性空间Ch.7线性变换Ch.8欧几里得空间Ch.9二次型Ch.10Ch.1Ch.2Ch.3Ch.4Ch.5Ch.6Ch.7Ch.8Ch.9Ch.10一般性介绍数学数学分析，高等代数，解析几何数学基础:数理逻辑-公理集合论,证明论,模型论,递归论数学分析实变函数论，复变函数论，多复变函数论，测度论，泛函分析，变

2、分法，函数逼近论，非标准分析，小波分析，分形几何，常微分方程，偏微分方程，积分方程，动力系统,特殊函数，数值分析,计算方法,…..高等代数数论,近世代数，线性代数,群论,域论与伽罗瓦理论,环与代数,模论,范畴论代数K理论,同调代数,李代数,序与格,离散数学,计算机科学,矩阵论,密码学,……解析几何高等几何,代数几何,微分几何,凸集几何与距离几何,一般拓扑学,代数拓扑学,流形拓扑学,分形几何,计算机辅助几何设计,计算机图形学,……概率论数理统计,随机过程,统计学,经济数学,……其它生物数学,模糊数学,运

3、筹学,控制理论,通信与信息理论,优化理论,计算数学,.….计算机有关的课程数据结构,计算机原理,C++语言,Java语言,离散数学,数据库原理,操作系统,程序设计方法，计算机网络，信息系统,汇编语言,逻辑电路,软件工程,最新软件分析,通信与信息理论,算法分析,.….高等代数—目的及要求1.为什么要学高等代数？3.作业要求：(1)书面作业：A4大小的活页纸；(2)上网作业：可自己检查,帮助理解；(3)平时测验:4.如何评定成绩？5.参考书目：《线性代数及应用》–王晓峰主编《高等代数》(北大)–高教出版社

4、2.要学那些内容？§1.1集合Ch.1基本概念0.1§1.2映射1.2§1.3数学归纳法1.3§1.4数论初步1.4§1.5整数和整环1.5§1.1集合Ch.1基本概念集合的概念集合的表示元素的概念常用记号常用集合有限集合无限集合子集交集并集空集补集差集笛卡尔集集合的运算§1.2映射定义1设A和B是两个非空集合,从A到B的一个映射是一个对应法则f,使得A中每一个元素x,都有A中一个确定的元素y与之对应,并记为:f(x)=y或f:xy并称y为x在映射f下的象,而x为y在映射f下的一个原象.例1取整数集

5、合Z,定义Z到Z的一个对应法则f,使得Z中每一个元素n,对应2n,即:f(n)=2n或f:n2n验证f是一个Z到Z的映射.例2取全体实数集合R和全体非负实数的集合B,定义R到B的一个对应法则f,使得R中每一个元素x,对应x2,即:f(x)=x2验证f是一个Z到Z的映射.例3取自然数集合N和集合B={奇,偶},定义N到B的一个对应法则f,使得N中每一个元素n,如果存在整数k,使得n=2k+1,则令f(n)=奇,否则f(n)=偶.验证f是一个N到B的映射.例4取全体非负实数的集合A,定义A到全体实数集合

6、R的一个对应法则f,使得A中每一个元素x,对应y,满足:y2=x.问：f是一个A到R的映射吗？例5取自然数集合N,定义N到N的一个对应法则f,使得N中每一个元素n,对应于n1.问：f是一个N到N的映射吗？例6取任意非空集合A,定义A到A的一个对应法则f,使得A中每一个元素x,对应x自己,即:f(x)=x显然：f是一个A到A的映射—恒等映射.注意:如果f是从A到B的一个映射则A中任一元在B中有且仅有唯一的元素与之对应;有可能存在B中的元素不是A中任一元素的像；A中不相同的元素在B中有可能有相同的像.如

7、果g也是从A到B的一个映射,并且对任意的xA,都有f(x)=g(x),则称f=g.定义2设f是一个从A到B映射.如果对任意的bB,都存在一个aA,使得f(a)=b则称f是一个从A到B的满射.定义4既是满射又是单射的映射称为双射.定义3设f是一个从A到B映射.对任意的a1,a2A,如果a1a2,就一定有f(a1)f(a2)则称f是一个从A到B的单射.映射的合成运算:合成运算满足结合律:合成函数的例子：定理1.2.1设f是一个从A到B映射.那么以下条件等价：(i)f是一个双射；(ii)存在B到

8、A映射g,使得gf=jA,fg=jB并且，当(ii)成立时，映射g由f唯一确定.定义:上述定理中由f唯一确定的映射g称为f的逆映射，记为f1.并且f1f=jA,ff1=jB例10设A是所有非负实数的集合.而集合B={xR

9、0x1}.定义A到B的一个对应法则f如下：验证:(i)f是一个A到B的双射；(ii)求f1.代数运算：设A是一个集合.称一个从AA到A映射为A上的一个代数运算.§1.3数学归纳法最小数原理正整数集合N*的任意非空