高等代数课件PPT之第1章多项式

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1、高等代数多项式行列式线性方程组矩阵二次型线性空间线性变换欧几里得空间第1章多项式多项式理论是高等代数的重要内容之一。它不但为高等代数所讲授的基本内容提供了理论依据，其中的一些重要定理和方法在进一步学习数学理论和解决实际问题时常常用到。本章介绍一元多项式的基本理论。第1章多项式数域一元多项式整除的概念最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复系数与实系数多项式的因式分解有理系数多项式1数域要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围内解的情形不同。常遇到的数的范围：有理

2、数集、实数集、复数集共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质有些数集也有与有理数集、实数集、复数集相同的代数性质为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概念——数域。1数域1.数域的定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P中，则称P为一个数域.常用到的数域：有理数域Q、实数域R、复数域C.2.数域定义的另一形式包含0与1的数集P，如果对于加法、减法、乘法、除法（除数不为零）运算封闭，则称P为一个数域.例1所有形如(a、b是有理数)的数构成一个数域.解(i)(ii)对四则运算封闭.事实上3.有

3、理数域是一个最小的数域（任何数域都包含有理数域作为它的一部分）证：设P为一个数域.由定义知1P，又P对加法封闭知：1+1=2，1+2=3，…P包含所有自然数；由0P及P对减法的封闭性知：P包含所有负整数，因而P包含所有整数；任何一个有理数都可以表为两个整数的商，由P对除法的封闭性知：P包含所有有理数.即任何数域都包含有理数域作为它的一部分.2一元多项式（以固定数域P为基础）1.定义设x是一个符号(文字)，n为非负整数.形式表达式称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上的一元多项式.i次项i次项系数首项(an0)习惯上记为f(x)，g(x)…

4、…或f,g……上述形式表达式可写为符号x可以是为未知数，也可以是其它待定事物.几个概念:零多项式——系数全为0的多项式多项式相等——f(x)=g(x)当且仅当同次项的系数全相等（系数为零的项除外）多项式f(x)的次数——f(x)的最高次项对应的幂次，记作(f(x))或deg(f(x)).如：f(x)=3x3+4x2-5x+6的次数为3，即deg(f(x))=32.多项式的运算例f(x)=2x2+3x–1,g(x)=x3+2x2-3x+2，则f(x)+g(x)=(2x2+3x–1)+(x3+2x2-3x+2)f(x)g(x)=(2x2+3x–1)(x3

5、+2x2-3x+2)乘法较为复杂，应用竖式方便、明了：f(x)-g(x)=(2x2+3x–1)-(x3+2x2-3x+2)2.多项式的运算f(x)=2x2+3x–1g(x)=x3+2x2-3x+22x5+3x4-x34x4+6x3-2x2-6x3-9x2+3x4x2+6x-2f(x)g(x)=2x5+7x4-x3-7x2+9x-2或为更简明，应用分离系数法进行：2.多项式的运算设f(x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令加法：f(x)g(x)乘法：f(x)g(x)结论:(1)(f(x)g(x))max((f(x)),(g(x))(2

6、)(f(x)g(x))=(f(x))+(g(x)),当f(x)0,g(x)0且乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积2.多项式的运算运算律设f(x),g(x),h(x)为数域P上的一元多项式,则（1）f(x)+g(x)=g(x)+f(x)（2）(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))（3）f(x)g(x)=g(x)f(x)（4）(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))（5）f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)（6）若f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)0,则g(

7、x)=h(x)证（4）(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))考虑等式两端t次项的系数.左边：f(x)g(x)中s次项的系数为故t次项的系数右边：g(x)h(x)中r次项的系数为故t次项的系数证毕.例1当a,b,c取何制值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)2+b(x+1)+c(x2-x+2）相等？解由于g(x)=(a+c)x2+(-4a+b–c)x+(4a+b+2c）根据多项式相等的定义，得例2设f(x),g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果f2(x)=xg2(x)+xh2(x)则f(x)=g(x)=h(x)

8、=0若f(x)0，则f2(x)0.由f2(x)=xg2(x)+xh2(x)=x(g2(x)