高等代数课件PPT之第2章行列式.ppt

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1、第2章行列式行列式是高等代数的一个重要组成部分。它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式、二次型等问题的重要工具.本章介绍了n级行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克拉默法则.第2章行列式n级行列式的定义行列式的性质与计算行列式按一行（列）展开克拉默法则—行列式的一个简单应用2.1∼2.3n级行列式的定义本节从二、三级行列式出发，给出n级行列式的概念.基本内容：二级与三级行列式排列及其逆序数n级行列式定义1.二级与三级行列式(1)二级行列式为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记

2、忆，引进如下记号：称其为二级行列式.据此，解中的分子可分别记为：例1解二元线性方程组解:方程组未知量的系数所构成的二级行列式方程组有唯一解.又于是方程组的解为(2)三级行列式称为三级行列式。‘—’三元素乘积取“+”号；‘…’三元素乘积取“-”号。主对角线法例2计算三阶行列式解:由主对角线法，有例3解线性方程组解：系数行列式方程组有唯一解.又于是方程组的解为思考与练习（三级行列式）方程化简为(x-1)2=4,其解为x=3或x=-1；答案2.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的

3、三级排列有3！=6个：123132213231312321（总数为n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其它则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)——构成逆序.(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为(i1i2…in).奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.=3=2例4(2413)(312)例5(n(n-1)…321)(135…(2n-1)(2n)(2n

4、-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)对换：在一个排列i1…is…it…in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1…it…is…in,这种变换称为一个对换,记为(isit).例6结论：①对换改变排列的奇偶性.②全部n级排列中,奇偶排列各半(各有n!2).③任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一系列对换互变,且所作对换的个数与该排列有相同的奇偶性.①的证明对换在相邻两数间发生，即设排列…jk…(1)经j,k对换变成…kj…(2)此时，排列(1)、(2)中j,k与

5、其它数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列…ji1…isk…(3)经j,k对换变成…ki1…isj…(4)易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：k经s+1次相邻对换成为…kji1…is…j经s次相邻对换成为…ki1…isj…即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.

6、

7、思考练习（排列的逆序数）1.(542163)(24…(2n-

8、2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31）2.若排列的x1x2…xn逆序数为Ｉ，求排列xnxn-1…x1的逆序数.答案详解继续思考练习（排列的逆序数详解）方法1在排列x1x2…xn中，任取两数xs和t(s

9、-i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即3.n级行列式定义分析：(i)每一项均是取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)项数为3！=6推广之，有如下n级行列式定义定义：n级行列式是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积并冠以符号的项的和.(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；(iii)表示对所有的构成的n！个排列求和.例4计算

10、解由行列式定义,和式中仅当例5证明上三角行列式证：由