高等代数第3章 行列式.ppt

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1、高等代数第3章行列式李尚志北京航空航天大学行列式的引入§3.0旧题新解例1.任取数列前三项u1,u2,u3,能否找到通项公式un=an2+bn+c?分析.方程组总有唯一解系数矩阵各列不共面以OA1,OA2,OA3为棱的平行六面体体积detA≠0.2021/7/28计算机算行列式:MathematicadetA=2≠0=>AX=b总有惟一解。还可对每个b求唯一解X=A-1b.例如:得X=(-3,11/2,-3/2)2021/7/28推广到n元方程组例2.任给5个数作为数列{un}前5项,是否存在通项公式un=f(n)=a0+a1n+a2n2+a3n3+a4n4解.2021/7/28de

2、tA=288≠0AX=b总有惟一解。取数列前5项为1,2,3,4,20132021/7/28MATLAB二元一次方程组:唯一解条件,求解公式解.向量形式:OB旋转-90o到OB’,OA旋转90o到OA’.与方程组向量形式作内积消去y,得.OA,OB不共线二阶行列式几何意义:平行四边形OAPB的有向面积.绝对值:

3、D

4、=面积SOAPB.符号:与角AOB=q的正弦sinq的正负号相同.D>0q∈(0,p);D<0q∈(-p,0);D=0OA,OB共线q=0或p.定义=D=a1b2-a2b1.二阶行列式基本性质(1-2)如图1,线段OA,OB分别表示向量a,b.det(a,b)={

5、平行四边形OAPB有向面积}性质1.det(ta,b)=tdet(a,b)任一列常数因子可以提到行列式外.(初等列变换2)几何意义:平行四边形一边乘t=>面积乘t.性质2.det(a,b)=det(a+lb,b)任一列的常数倍加到另一列(初等列变换3),行列式不变.几何意义:SOAPB=SOMNB,二阶行列式基本性质(3)向量a,b,c分别由图2线段OA,OB,AC表示.性质3.det(a+c,b)=det(a,b)+det(c,b)det(a+c,b)看成乘积(a+c)*b,满足分配律.几何意义:SOAPB+SACQP=SODEB+SDCQE=SOCQB即SOAPB=SOCQB-SCA

6、PQ.代数推理:a+xb=l(a+c),c-xb=(1-l)(a+c)det(a,b)+det(c,b)=det(a+xb,b)+det(c-xb,b)=ldet(a+c,b)+(1-l)det(a+c,b)=det(a+c,b)二阶行列式基本性质(4-5)性质4.det(a,la)=0.几何意义:OA,OB共线平行四边形OAPB退化为线段,面积为0.代数推理:特例:det(a,a)=det(a,0)=0.性质5.det(a,b)=-det(b,a).几何意义:代数推理:利用基本性质计算行列式=三阶行列式n阶行列式只须对1,2,…,n的全体排列(i1,i2,…,in)求和:(-1)m,

7、由m的奇偶性决定.m是排列变成(12…n)的对换数,与逆序数奇偶性相同.i1,i2,…,in中某两个相等=>行列式的定义§3.1n阶行列式的定义奇偶性符号d(j1j2…jn)=(-1)s逆序数t(j1j2…jn)=s=s1+s2+…+sn-1,sk=逆序(jk)个数.定理3.1.1任一排列的任一次对换必改变奇偶性.证明:相邻两数jp,jp+1对换,增加或减少一个逆序.jp,jp+d对换可通过2d-1次相邻对换实现:jp往后换d次,jp+d往前换d-1次.奇偶性改变2d-1次奇数次.定理3.1.2每个排列可经过m次对换变成标准排列(12…n).m不唯一,奇偶性与逆序相同.利用定义计算行列式

8、例1.解.d(4321)=(-1)3+2+1=1,D=a1a2a3a4.例2.=a11a22…ann三角阵的行列式=对角元乘积不是三角阵,化成三角阵.例3.准三角行列式=对角块行列式乘积.例4.例5.行列式的性质§3.22021/7/28行列式的性质1.行列式转置,值不变:detA=detAT.2.看成各列(行)乘积,满足分配律.3.每行(列)公因子可提出来.(初等变换2)4.两行(列)互换,变成相反数.(初等变换1)5.某行(列)全为0,值为0.6.两行(列)相等,值为0.7.两行(列)成比例,值为0.8.某行(列)常数倍加到另一行(列),值不变.(初等变换3)2021/7/28利用

9、初等变换计算行列式通过初等变换化为三角阵的行列式.例1.2021/7/28例2.==2021/7/28例3.==2021/7/28例4.V(x1,…,xn)===§3.3展开定理2021/7/28展开定理3阶行列式推广到n阶：代数余子式Aij=(-1)i+jMij按列展开:detA=a1jA1j+…+anjAnj当k≠j,a1jA1k+…+anjAnk=0按行展开:detA=ai1Ai1+…+ainAin当k≠i,ai1Ak1+…+