高等代数第2章行列式

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1、第2章行列式§2.12阶、3阶行列式§2.2n元排列§2.3n阶行列式§2.4n阶行列式的性质§2.5行列式按一行(列)展开§2.6Cramer法则§2.7Laplace定理用消元法解二元线性方程组2.1.2二阶行列式方程组的解为由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义1即主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意分母都为原方程组的系数行列式.例1解2.1.3三阶行列式定义2记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.三阶行列式的计算.列标行标对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素

2、的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.若记或记即得得则三元线性方程组的解为:例2解按对角线法则，有例3解方程左端例4解线性方程组解由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为:二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结说明：(1)项数：2阶行列式含2项，3阶行列式含6项,这恰好就是2!,3!.(2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于不同行不同列的2个和3个元素

3、的乘积.(3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负,3阶行列式6项,3正3负.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．为此，我们用排列与逆序来定义n阶行列式.§2.2n元排列2.2.1排列与逆序2.2.2排列的奇偶性2.2.1排列与逆序定义3由自然数1，2，······，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列.例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是数1，2，3，4，5的一个排列.问题：n个数的不同排列有个.n!自然序排列.按数的大小次序，由小到大的排列称为定义4n阶排列1234…n称为n阶自然序排列.在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成

4、一个逆序.注意n阶排列中，自然排列只有一种，除此之外，任一n阶排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况.定义5一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数，逆序数为奇数的排列奇排列.逆序数为偶数的排列偶排列.定义6一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半.定义7把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换.将相邻的两个数对换，称为相邻对换.例如2.2.2排列的奇偶性定理2-1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,当时，当时，经对换后的逆序数不变，的

5、逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.定理2-2时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个.证明设n个数的排列中，奇排列有p个，则p＋q＝n！对p个奇排列，则由定理2-1得到p个偶排列.因为总共有q个偶；同理所以偶排列有q个，施行同一对换，（而且是p个不同的偶排列）排列，所以定理2-3任意一个n阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.推论任意两个n阶排列都可以经过一系列对换互变，而且若这两个排列的奇偶性相同，则所作的对换次数是偶数

6、；若这两个排列的奇偶性相反，则所作的对换次数是奇数。§2.3n阶行列式2.3.1n阶行列式的定义2.3.2n阶行列式的计算(1)三阶行列式注（1）项数:三阶共有项，即项．（2）每项构成:都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．2.3.1n阶行列式的定义（3）各项符号:正负各半．分析发现,每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列2.n阶行列式的定义定义说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式不要与绝对值

7、记号相混淆;5、的符号为2、阶行列式是项的代数和,其中正负项各各占一半，行列式是一个数;6、上式称为n阶行列式的完全展开式.定理2-4令是n阶行列式中的任一项，则项的符号等于证明由行列式定义可知，确定项的符号，需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列.为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化.对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换.设对换