高等代数考研复习 [行列式].ppt

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1、高等代数考研复习2014年8月行列式是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究线性方程组理论的有力工具，而且在求逆矩阵、求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性以及求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都起着重要的是作用.本章复习内容分三个部分：(1)行列式定义(2)行列式性质(3)行列式计算.定义是基础，性质是关键，计算是核心!第一章行列式二阶三阶行列式是使用对角线法定义的，四阶以上的行列式对角线法不成立.n阶行列式是通过对二阶三阶行列式定义的分析、归纳总结得到的.1.1行列式的定义(1)项的构成(2)每项的符号(3)项的个数1行列式的定义其中是的一个排列.例1已知求与的

2、系数.1.2排列的性质(1)对换改变排列的奇偶性.(2)奇偶排列各半.(3)任一排列都可通过一系列对换变为自然排列，并且所做的对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同.例2求2.行列式的性质(1)(对称性).反应了行与列具有相同的性质.(2)(互换性)行行互换行列式反号.(3)(比例性)两行对应成比例，行列式为零.(4)(数量性)行有公因子可提到行列式之外.(或数K乘行列式等于数K乘行列式的某一行.)(5)(倍加性)某一行的倍数加到另一行，行列式不变.(6)(拆分性)(7)行列式展开定理----降阶定理两个概念：余子式，代数余子式关系：定理：推论：(8)Laplace定理K

3、阶子式()，K阶代数余子式，主子式，顺序主子式.定理：在行列式D中，任意选定K行由这K行元素所组成的一切K阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。例1设求D的第K行元素的代数余子式之和，即例2计算例2推广为3.行列式计算中常用的结论(1)对角线行列式(2)三角形行列式(3)范德蒙德行列式由一组数的连续方幂(从0到n)构成的行列式称为范德蒙德行列式.对范德蒙德行列式要求会证明！方法：用逐行想减法降阶得递推公式，然后使用数学归纳法证明.(4)对称行列式、反对称行列式若或则称为对称行列式.若或则称为反对称行列式.结论：奇数阶反对称行列式为零.(5)分块行列式A为n阶

4、方阵，B为m阶方阵.(6)行列式乘积公式：(i)(ii)(iii)4行列式的计算行列式计算主要是计算特殊行列式，也就是具有某种特殊性的行列式.因此，揭示行列式行与行、列与列元素之间的关系，发现它们之间的联系是计算行列式的关键.只要找到它的特性，然后利用行列式的性质，将行列式化为已知的特殊行列式形式，如三角形行列式、范德蒙德行列式等，即可得结论.下面介绍行列式计算的类型与方法.4.1箭形行列式形如下面类型的行列式称为箭形行列式：可化为三角形行列式的结论.例1计算特征：主对角元不同，每行其余元素对应相同.例3计算特征？？？4.2各列(行)相加法特征：行和相等例1计算例24

5、.3逐列(行)相减法特征：每行对应元素差异较小或基本相同，做差后所得每行元素出现大量相同数或零.例1计算行列式例2计算行列式其中例34.4加边法特征：每行元素构成大致相同或成比例例1例2例3例4证明:(1)(2)4.5递推法特征：去掉第一行第一列或去掉第n行第n列，行列式结构不变。将行列式按第一行或第一列展开得与的关系，即递推关系.例1例2例3例44.6拆分法特征：主对角线上方或下方元素一致，将行列式拆分为两个行列式之和，利用前面的方法得结果.例1例2可推广为4.7与范德蒙德行列式有关的问题例1例2上式推广为练习：谢谢今天是星期六20003222222