高等代数第1章多项式.ppt

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1、第1章多项式§1一元多项式§2整除的概念§3最大公因式§4因式分解定理§5重因式§6多项式函数§7复系数与实系数多项式的因式分解§8有理系数多项式§1一元多项式一、多项式定义.设x是一个变量(文字),n是非负整数.表示式anxn+an-1xn-1++a1x+a0,其中an,an-1,,a1,a0全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式,简称数域P上的一元多项式.注:(1)一元多项式指只含一个变量.(2)n是非负整数.(3)多项式常用f(x),g(x)等表示,或简记作f,g等.设数域P上的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0,(1)an,an-1,,

2、a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0的多项式称为零多项式,记作0.(2)akxk(k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称为f(x)的k次项系数.(3)零次项a0也称为f(x)的常数项.(5)非零常数是零次多项式.(6)零多项式是唯一无法确定次数的多项式.(7)只有f(x)0,degf(x)才有意义.(4)若an0,称anxn为f(x)的首项,an称为f(x)的首项系数,n称为f(x)的次数,常记作degf(x),或二多项式的运算设f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0,g(x)=bmxm+bm-1xm-1++b1x+b0,1、相等:f(x

3、)=g(x)若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等.2、加(减)法:f(x)g(x)将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减);若m

4、++ak-1b1+akb0其中,若i>n,则ai=0;若j>m,则bj=0.(2)乘法运算式可按竖式进行.乘法运算式例1.设f(x)=2x2+3x-1,g(x)=x3+2x2-3x+2,则f(x)=2x2+3x-1,)g(x)=x3+2x2-3x+2.2x5+3x4-x34x4+6x3-2x2-6x3-9x2+3x4x2+6x-2.f(x)g(x)=2x5+7x4-x3-7x2+9x-2一些性质1、数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得的结果仍然是数域P上的多项式2、deg(f(x)g(x))max(degf(x),degg(x))deg(f(x)g(x))=deg

5、f(x)+degg(x)3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积;f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x)的首项系数之积.运算规律1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、乘法消去律定义所有系数在数域P中的一元多项式全体,称为数域P上的一元多项式环,记作P[x],P称为P[x]的系数域.例设f(x),g(x),h(x)是实系数多项式，且证明f(x)=g(x)=h(x)=0.问改为复数域时，结论是否成立？§2整除的概念一、带余除法定理(带余除法

6、)对于P[x]中任意两个多项式f(x)和g(x),其中g(x)0,一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在,使f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立,其中deg(r(x))

7、+b0,bm0令f(x)-g(x)q1(x)=f1(x)degf1(x)n-1f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x)degf2(x)n-2fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x)f1(x),f2(x),,fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数上式可改写为f(x)=f1(x)+g(x)q1(x)f1(x)=f2(x)+g(x)q2(x)+)fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x).f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1