高等代数多项式.ppt

《高等代数多项式.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、多项式第一章多项式多项式§1数环和数域§1数环和数域数是数学中的一个基本概念，人们对数的认识经历了一个长期的发展过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数到复数。数学中的许多问题都和数的范围有关，数的范围不同，对同一问题的回答可能也不相同。例如在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根。在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域内就可以分解。多项式§1数环和数域我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以及全体复数等，它们具有一些不同的性质，但也有很多共同的性质，在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。一个数集中，数的加、减、乘、除运算称

2、为数的代数运算。若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集P中，则称该数集P对这个运算是封闭的。自然数集N对加、乘运算封闭，对减、除不封闭。整数集Z对加、减、乘运算封闭，对除不封闭。有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。多项式§1数环和数域根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：数环和数域。一、数环定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b，a•b∈P，则称数集P是一个数环。例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。例1

3、除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？例2一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含有限个元素的数环？多项式§1数环和数域例3证明是包含的最小数环。二、数域定义2：若P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，如果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭，则称数集P是一个数域。定义3：若P是一个数环，如果①数集P内含有一个非零数②对a，b∈P，且b≠0，有a/b∈P，则称数集P是一个数域。例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。多项式§1数环和数域例4证明是一个数域。例5设证明P2，P是一个数域，而且P是包含P1和P2

4、的最小数域。例6证明任何数域都包含有理数域Q。例7在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢？例8设F1和F2是两个数域，证明：1）F1∩F2是一个数域；2）F1∪F2是数域的充分必要条件是F1⊆F2或F2⊆F1。多项式§2一元多项式的定义和运算§2一元多项式的定义和运算一、一元多项式的定义定义1：设x是一个文字(或符号)，n是一个非负整数，表达式其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或简称为数域P上的一元多项式。定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义：这里的x不再局限为实数，而是任意的文字或符号。多项式中的系数可以在任

5、意数域中。常数项，或称零次项称为首项，其中首项系数an≠0多项式§2一元多项式的定义和运算例如：是Q上的一元多项式。是R上的一元多项式。是C上的一元多项式。而都不是多项式。定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数相等，那么就称多项式f(x)或g(x)相等，记为f(x)=g(x)多项式§2一元多项式的定义和运算定义3：设非负整数n称为多项式f(x)的次数，记为例如：几类特殊的多项式：零次多项式：次数为0的多项式，即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式，即f(x)=0。对零多项式不定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f

6、(x)≠0。首一多项式：首项系数为1的多项式。多项式§2一元多项式的定义和运算二、多项式的运算定义4：设是数域P上次数分别为n和m的多项式(不妨假设m≤n)，则多项式f(x)和g(x)的和，差为：当m

7、(x)=f(x)•[g(x)•h(x)]乘法对加法的分配律：f(x)•[g(x)+h(x)]=f(x)•g(x)+f(x)•h(x)乘法对减法的分配律：f(x)•[g(x)-h(x)]=f(x)•g(x)-f(x)•h(x)多项式§2一元多项式的定义和运算三、多项式的次数定理定理1：设f(x)≠0，g(x)≠0，则①当f(x)±g(x)≠0时，有②多项式§2一元多项式的定义和运算推论1：f(x)•g(x)=0当且仅当f(x)=0或g(x)=0。由推论2可知，一元多项式满足乘法的消去律。推论2：若f(x)•g(x)=f(x)•h(x)，且f(x)≠0，则g

8、(x)=h(x)。定义5：记P[x]={数域P上所有一元多项式全体}，由于P[x