数学建模之概率模型

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1、概率模型1传送系统的效率2报童的诀窍3随机存贮策略4轧钢中的浪费随机模型确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略确定性模型随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机性模型概率模型统计回归模型马氏链模型1.传送系统的效率传送带背景挂钩产品工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径问题分析•进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同。•工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产

2、完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。•每人做完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。•可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时

3、都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。模型建立•定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数n（已知）之比，记作D=s/n如何确定s？•若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则s=mp如设每只挂钩为空的概率为q，则p=1-q何设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则q=rn求概设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则r=1-u率一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方u=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n模型解释传送带效率(一周期内运走

4、m1nD=[1−(1−)]产品数与生产总数之比）nm若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n,则mnn(n−1)n−1D≈[1−(1−+)]=1−2nm2m2m定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比）当n远大于1时,E≈n/2m~E与n成正比，与m成反比若n=10,m=40,提高效率D≈87.5%(89.4%)的途径：•增加m2.报童的诀窍报童售报：a(零售价)>b(购进价)>c(退回价)问售出一份赚a-b；退回一份赔b-c题每天购进多少份可使收入最大？购进太多→卖不完退回→赔钱分存在一个合析购进太少→不够销售→赚钱少适的购进

5、量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天收入是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入等于每天收入的期望准调查需求量的随机规律——每天备需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…•设每天购进n份，日平均收入为G(n)建模•已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-cr≤n⇒售出r⇒赚(a−b)r⇒退回n−r⇒赔(b−c)(n−r)r>n⇒售出n⇒赚(a−b)nn∞G(n)=∑∑[(a−b)r−(b−c)(n−r)]f(r)+(a−b)nf(r)r=01r=n+求n使G(n)最大求解将r视为连续变量f(r)⇒p(r)(概率密度）n∞G(n)

6、=∫[(a−b)r−(b−c)(n−r)]p(r)dr+∫(a−b)np(r)dr0ndGn=(a−b)np(n)−∫(b−c)p(r)drdn0∞−(a−b)np(n)+∫(a−b)p(r)drnn∞=−(b−c)∫p(r)dr+(a−b)∫p(r)dr0nndG∫p(r)dra−b0=0=∞dn∫p(r)drb−cnn∫p(r)dra−b0结果解释∞=∫p(r)drb−cnn∞∫0p(r)dr=P1,∫np(r)dr=P2pPa−b取n使1=Pb−c2a-b~售出一份赚的钱PP12b-c~退回一份赔的钱0nr(a−b)↑⇒n↑,(b−c

7、)↑⇒n↓3.随机存贮策略问以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；题周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s,S)存贮策略制订下界s,上界S，当周末库存小于s时订货，使下周初的库存达到S;否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略,使(平均意义下)总费用最小模型假设•每次订货费c,每件商品购进价c,每件商品01一周贮存费c,每件商品缺货损失费c(c

8、u=0x0,x+u=S确定(s,S),使目标函数——每周总费用的平均值最小s~订货点，S~订货值订货费c,购进价c,贮存费c,缺货费c,销售量r0123平均⎧c0+c1