数学建模 之 人口模型

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1、数学建模———关于人口增长的模型13摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。一、问题的提出：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出

2、较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百年的美国人口统计数据，预测2010年、2020年美国人口数量。年份1790180018101820183018401850人口3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口31.438.650.262.97692106.5年份1930194019501960197019801990人口123.2131.7150.7179.3204226.5251.4二、建立模型模型一（指数增长模型）1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行

3、编号（），人口数量计为（），以为横坐标，以为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。附图A132、基本假设：人口的增长率是常数增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。设人口增长率为常数r。时刻t的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X由假设，对任意△t>0，有即：单位时间人口增长量=r×当时人口数当△t趋向于0时，上式两边取极限，即：引入微分方程：3、模型求解：从（1）得两边求不定积分：∵t=0时，∴∴(2)当r>0时.表明人口按指数变化规律增长.备注；r

4、的确定方法：要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r进行估计:十年的增长率,,则(2)式现为:4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):13x(22)=3325.772020的人口为x(23):x(23)=4519.735、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此基础上并预测2070、2020年美国人口，列表2年份(t)实际人口(百万)指数增长模型(百万)误差(%)1790(0)3.93.90.001800(1)5.35.30.001810(2)7.27.20.001820(3)9.69.81.981830(4)12.913.33.11840(

5、5)17.118.15.731850(6)23.224.65.911860(7)31.433.46.341870(8)38.645.417.561880(9)50.261.722.851890(10)62.983.833.231900(11)76113.949.861910(12)92154.868.231920(13)106.5210.397.51930(14)123.2285.8132.021940(15)131.7388.5194.971950(16)150.7527.9250.321960(17)179.3717.5300.151970(18)204975377.951980(19)2

6、26.5990485.021990(20)251.41809.8619.992010(22)-3325.772020(23)-4519.73附图如下：136、模型讨论：由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。但人口较多时用模型预测的结果比实际人口偏大较多，实际人口越多时相对误差越大。即人口的增长不应是一个常数。进行如下讨论：1．我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响。2．假定是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。3．人口增长率是常数，意味着人处

7、于一种不随时间改变的定常的环境当中。4．模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。模型二（阻滞增长模型）1、模型的提出随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降。又因一定环境所容纳的人口数量是一定的，