数学建模概率模型案例

《数学建模概率模型案例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、概率模型概率模型（一）传送系统的效率问题（二）报童的诀窍（三）航空公司的超额订票问题确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型数学期望离散型随机变量X的概率分布为则随机变量X的数学期望值为连续型随机变量X的概率密度函数为则随机变量X的数学期望值为期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！传送系统的效率在机械化生产车间里，你可以看到这样的情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张的生产同一种产品，工作台上方一条传送带在运

2、转，带上若干个钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走，当生产进入稳态后，请大家构造一个衡量传送系统效率的指标，并建立模型描述此指标与工人数量、钩子数量等参数的关系。效率：工人所生产的产品数，传送系统带走的产品数，稳态：工人生产一件产品的时间长短相同，即，生产周期相同，当生产进入稳态后，工人生产一件产品的时刻再一个周期那是等可能，工人的生产是相互独立的。钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子为空钩。模型的建立：工人人数n个钩子个数m个带走的产品数s个定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统效率的指标，在一个生产周期内D

3、＝带走的产品数/生产的产品数＝s/nS的确定：与空钩个数有关从工人角度：每个工人能将自己的产品挂上钩子的概率与工人位置有关。从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地位，在一周期内，m个钩子求出非空的概率p，则s=mpP的确定任一只钩子被一名工人触到的概率：任一只钩子不被一名工人触到的概率：工人相互独立，任一只钩子不被n名工人挂产品的概率：任一只钩子非空的概率为则传送系统效率为：d=s/n=mp/n=当n＝10,m=40报童的诀窍问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a

4、，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。1.确定设计变量和目标变量2.确定目标函数的表达式每天的总收入为目标变量每天购进报纸的份数为设计变量3.寻找约束条件寻找设计变量与目标变量之间的关系设计变量所受的限制问题分析若每天购进0份，则收入为0。若每天购进1份，售出，则收入为a-b。退回，则收入为–(b-c)。若每天购进2份，售出1份，则收入为a-b–(b-c)。退回，则收入为

5、–2(b-c)。售出2份，则收入为2(a-b)。收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。1设每天购进n份，日平均收入为G(n)每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…2售出一份赚a-b；退回一份赔b-c模型假设与符号说明求n使G(n)最大每天的收入函数记为U(n)，则收入函数的期望值为建模将r视为连续变量模型求解使报童日平均收入达到最大的购进量应满足上式。因为售完的概率因为当购进份报纸时，是需求量不超过的概率是需求量超过的概率售不完的概率上式意义为：购进的份数之比，恰

6、好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。应该使卖不完与卖完的概率根据需求量的概率密度的图形可以确定购进量在图中用分别表示曲线下的两块面积，则Onr当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。结论求解的几何意义注意求解技巧：连续化建模方法：从特殊到到一般归纳抽象1998年B题灾情巡视路线单旅行商到多旅行商1999年B题钻井布局网格的平行移动到旋转运动2000年B题钢管的订购与运输线形到树形2000年C题飞越北极球形到椭球形人口模型，战争模型随机变量的目标函数：期望值航空公司的超额订票模

7、型利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？举例查概率积分表得航空公司的预订票策略1问题的提出航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什

8、么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。2问题分析公司的经济利益公司的社会声誉利润=收入-成本-赔偿金已订票但被挤掉的乘客的数量怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤掉的乘客的数量尽可能小。问题转化为以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。订票策略：为