数值分析第九讲(1)new

《数值分析第九讲(1)new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第九章常微分方程初值问题的数值解法§9.1引言科学研究和工程技术中的问题往往归结为求某个常微分方程的定解问题.常微分方程的理论指出，很多方程的定解虽然存在，但可能十分复杂难于计算，也可能不能用简单的初等函数表示,因此常求其能满足精度要求的近似解.常微分方程的数值解法常用来求近似解，由于它提供的算法能通过计算机便捷地实现，因此近年来得到迅速的发展和广泛的应用常微分方程数值解法的特点是：对求解区间进行剖分，然后把微分方程离散成在节点上的近似公式或近似方程，最后结合定解条件求出近似解.因此数值解法得到的近似解是一个离散的函

2、数表.1结束9.1.1基本知识复习一阶常微方程的初值问题：yf(x,y)axb(1)y(a)y(2)0其中f(x,y)是已知函数，(2)是定解条件，常微分方程的理论指出：当f(x,y)定义在区域G=(a≤x≤b,｜y｜＜∞)，若存在正的常数L，使：｜f(x,y1)–f(x,y2)｜≤L｜y1-y2

3、对任意的x∈[a,b]和任意的y,y成立，则称f(x,y)对y满足李普12希兹(Lipschitz)条件,L称李普希兹常数.若f(x,y)在区域G连续，关于y满足李普希兹条件，则上述一阶常微分方程的初值问题

4、的解存在且唯一.我们以下的讨论，都在满足上述条件下进行.2结束9.1.2一阶常微分方程组和高阶常微分方程一阶常微分方程组常表述为：y1f1(x,y1,,ym)ymfm(x,y1,,ym)(axb)y(a)11y(a)mm写成向量形式为yf(x,y)axbTy(a)y,y(,,)001m3结束还有高阶常微分方程定解问题，如二阶定解问题：yf(x,y,y)y(a)y(a)可化作一阶常微方程组的定解问题：yu(x,y

5、)uf(x,y,u)y(a),u(a)本章着重讨论一阶常微方程初值问题的各种数值解法.这些解法都可以写成向量形式而用于一阶常微分方程组的初值问题.这样，也就解决了高阶方程的定解问题.4结束§9.2欧拉(Euler)方法对问题yf(x,y)axb(9.1)y(a)y(9.2)0最简单而直观的方法是欧拉方法.欧拉方法在精度要求不高时，仍不失为一实用方法.同时通过欧拉方法的讨论，容易弄清常微方程初值问题数值解法的一些基本概念和构造方法的思路.9.2.1欧拉方法的导出把区间［a,b］分为n

6、个小区间，取步长h=(b-a)/n，节点x=x+ih,i=0,1,2,…，n，其中x=a，又设y(x)为上述问题的解.i005结束把(9.1)式两端积分，积分区间取［x,x］ii+1xi1xi1ydxf(x,y)dxy(x)y(x)(9.3)i1ixixi记g(x)=f(x,y(x))对(9.3)用左矩形公式(8.3)bg()2g(x)dx(ba)g(a)(ba)2a得到：y(xi1)y(xi)hf(xi,y(xi))Riy()2Rh(x,x)i0,1,,n1

7、.iii12舍去R，并令y=y(x),得到：iiiyyhf(x,y)i0,1,,n1(9.4)i1iii这就是欧拉公式.6结束欧拉公式还可由泰勒展开得到.假定y(x)二阶连续可导，把y(xi+1)在xi点展开：y()2y(x)y(x)y(x)hhi1ii2!舍去h2项，并令y=y(x)，注意到y’(x)=f(x,y),也得到iiiiiyyhf(x,y)i0,1,,n1(9.4)i1iii欧拉公式有明显的几何意义，如图9.1，过点(x,y)的曲线是解00y(x).欧拉方法是在(

8、x,y)作y(x)的切线，它与直线x=x交于001(x1,y1)，过(x1,y1)作过此点的积分曲线的切线，又与x=x2交于(x,y)，…如此下去，得到一条折线，欧拉方法就是用这条折22线近似地代替曲线y(x)，故欧拉方法有时也称欧拉折线法.9.2.2欧拉隐式公式和欧拉中点公式对(9.3)式的右端用右矩形公式代替积分，可得到7结束2hy(x)y(x)hf(x,y(x))y()(x,x)i1ii1i1ii12推出：yyhf(x,y)i0,1,,n1,(9.5)i1ii1i1不难看

9、出，(9.5)式中公式两端都含有y,一般情况不能由y的值i+1i计算y,而需要解方程，故称为欧拉隐式公式.i+1把(9.3)式积分区间改为[x,x]，并对右端用中矩形公式代替i-1i+1积分，可得到：3hy(x)y(x)2hf(x,y(x))y()(x,x)i1i1iiii13推出：yy2hf(x,y)i1,2,