数值分析 第1章new

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1、第一章绪论第1章绪论数值分析——数值泛函分析§1.1课程简介主讲任春丽§1.2预备知识E-Mail:clren1003@126.com12数值分析在用计算机解决实际问题的过程中起到§1.1课程简介承上启下的作用一、数值分析概要：实际问题建立数学模型数值分析（NumericalAnalysis）是研究用计算机求提出数值计算方法程序设计，编程上机计算解数学问题的数值方法和理论（或计算方法、数值算法），是一门把数学理论与计算机紧密结合起来进行研分析结果并对实际问题进行解释说明究的实用性很强的基础学科，是培养科学计算能力的重要环节，隶属计算数学的一个分支。主要任务是，研究求解数学模型的算法——由

2、基本运算及运算顺序的规定所构成的完整解题步骤；进行误差分析。34二、泛函分析概要：三、泛函分析与数值分析的关系：泛函分析（FunctionalAnalysis）是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换（映射）规律的数学学科，属分电子计算机的出现和泛函分析在数值分析领域中的析数学。它以各种学科为具体背景，在集合的基础上，把应用，使数值分析发生了革命性的变化。计算机是数值客观世界中的研究对象抽象为元素和空间，建立空间之间分析的计算工具，而泛函分析是进行数值方法研究的理的映射（距离空间，赋范线性空间，内积空间）。论基础。对数值分析而言，运用泛函分析的观点与语言空间到空间的对应关系（映射）—

3、—称为算子可使数值分析中很多定理与方法的推导变得简洁、直观，像空间为数域的算子——称为泛函并使得结论具有普遍性。数集空间到数集空间的泛函——函数本课程只介绍与数值分析有密切关系的泛函中的基本概念和理论。561-1第一章绪论四、本课程的特点及内容：特点：自成体系，将泛函分析与数值分析融合在一五、教材：起，对一些不同的数值方法给出共同的泛函背景与统一《数值分析》，宋国乡编，西安电子科技大学出版社。的框架。参考书：内容：三大空间——距离空间，赋范线性空间，希《数值分析》，李庆扬等编，华中理工大学出版社。尔伯特空间；由内积定义投影，引出函数空间的各种数《应用泛函分析原理》，李广民等编，西安电子科

4、技值逼近，介绍不动点定理及应用；工程和科学实验中最大学出版社。基本、最常用的数值算法：数值积分与数值微分，线性六、课程性质：学位与非线性方程组的数值求解，矩阵的特征值与特征向量考试形式：闭卷笔试的计算。78§1.1预备知识七、课程要求：熟悉泛函分析的基本概念和理论；一、集合掌握数值分析中一些相关的理论分析技巧和数值把一些确定的彼此不相同的事物汇集在一起成为一求解方法；个整体，称为集合。熟悉所学方法的计算过程，并在实践中能够合理表示方法：描述法；列举法。选择和使用数值计算方法；分类：有限集；无限集（可列集，不可列集）。培养科学计算能力。910可列集（可数集）：设A是无限集，若A中的一切元素

5、可以用自然数集合关系：包含，相等，子集，真子集，空集φ。编号（即A与自然数集N一一对应），使A写成集合运算：并集，交集，差集，余集（补集）。AA{={aaa123,,,LLan,},则称A为可列集（或可数集）。空间：具有一定性质的元素集合，称为空间。否则，称为不可列集。如：有理数集是可列集，数列构成的集合是可列集；无理数集、[0，1]中的全体实数构成的集合是不可列集。11121-2第一章绪论二、数值算法的基本特点1．面向计算机3．计算复杂性尽可能小根据计算机的特点，提出解题的可程序化的具体步从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小，骤与过程——称为构造性方法，直到给出问题的答案。即所谓

6、计算复杂性问题。它由以下两个因素决定的：2．在理论上收敛、稳定，在实际计算中精确度高使用中央处理器（CPU）的时间，主要由四则运算计算机运算得到的结果都是近似的，因此需要考虑的次数决定；算法的精确度问题。在理论上还要研究用计算机运算得占用内存储器的空间，主要由使用的数据量来决到的结果是否收敛到实际问题的解，考虑算法的数值稳定。定性。13144．要有数值化结果数值计算的许多方法是建立在离散化的基础上进总之，对于给定的数学模型所提出的可行、有效行的，其解决问题的最终结果不是解析解而是数值近似的算法应该是符合计算机的要求；在理论上收敛、稳解。对于给定的数学模型，采用不同的离散手段可以导定，在实

7、际计算中精确度高；计算复杂性小；能通过致不同的数值方法，应该通过计算机进行数值试验，进试验验证的数值方法。行分析、比较来选定算法。对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明提供线索。1516三、误差分析2．误差的基本概念1．误差的来源定义1设x为准确值，x*是x的近似值（1）模型误差：数学模型与实际问题之间的误差。**e=x−x——称为x的绝对误差，简称误差（2）观测误差：实验或观测得