数值分析要点new

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1、第一章误差的来源：1、模型误差在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差。2、观测误差数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。而观测过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。3、截断误差数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。例如：函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式(n)f′(0)f′′(0)2f(0)nP(x)=f(0)+x+x+⋯+xn1!2!n!近似代替，则数值方法的截断误差是泰勒余项。4、舍

2、入误差计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参例如：用3.14159近似代替π，产生的误差数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入误差。R=π−3.14159=0.0000026⋯绝对误差、相对误差与有效数字∗∗∗定义1设x为准确值，x为x的一个近似值，称e=x−x1、绝对误差与绝对误差限∗为近似值x的绝对误差，简称误差。∗∗对于一般情形x−x≤ε,即∗∗∗∗x−ε≤x≤x+ε工程中常表示为∗∗x=x±ε2、相对误差与相对误差限∗定义2近似值的误差e与准确值x的比值∗∗ex−x=xx∗∗称为近似值x的相对误差，记作e。r在计算中，由于真值x总是不知道的，通常

3、取∗∗∗ex−xe==。r∗∗xx∗相对误差限:相对误差绝对值的上界，记作ε,即r∗∗∗ε

4、x−x

5、∗ε=≥==

6、e

7、r**r

8、x

9、

10、x

11、3、有效数字定义3如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说x*准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称x*的有效数字.4、绝对误差，相对误差与有效数字的关系绝对误差与相对误差的关系由两者定义可知。绝对误差与有效数字的关系：绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。∗定义3′近似数x表示为∗m−1−(n−1)x=±10×(a+a×10+⋯+a×10)12n其中，a(i=1,2,⋯,n)是0到9中的一个数字，

12、a≠0。i1∗1具有n位有效数字，则x−x≤×102有效数字与相对误差限的关系∗定理1设近似数x表示为∗m−1−(l−1)x=±10×(a+a×10+⋯+a×10)12l其中a(i=1,2,⋯,l)是0到9中的一个数字，a≠0,m为整数。i1若x具有n位有效数字，则其相对误差限为∗1−(n−1)ε≤×10（1）r2a1∗∗1−(n−1)∗反之，若x的相对误差限ε≤×10，则x至少具r2(a+1）1有n位有效数字。例1−3要使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？*1−n+1解：设取n位有效数字，由定理1，ε≤×10。r2a1由于20=4.4⋯,知a=4

13、,故只要取n=4,就有1∗−3−3ε≤0.125×10<10=0.1%r即只要对20的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于0.1%。（此时由开方表知20≈4.472。）1.3避免误差危害1、要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法2、要避免两相近数相减例1−5变换下列计算公式尽量避免有效数字的严重损失。2sinx(1)ln(x−x−1)(x很大)(2)(x很大)2x−x−1(3)lgx−lgxx与x接近1212(4)arctan(x+1)−arctanx(x很大)解：12(1)ln(2)(x+x−1)sinx2x+x−1x1(3)lgx2(4)令y=arctan(

14、x+1)−arctanx1tany=1+(x+1)x1则y=arctan()1+(x+1)x3、要防止“大数”吃掉小数4、注意简化计算步骤，减少运算次数例6多项式求值的秦九韶算法设给定n次多项式nn−1P(x)=ax+ax+⋯ax+aa≠0n01n−1n0∗求x处的值.n-i法一：若直接计算ax再逐项相加，一共需要做inn(n+1)2∑(n−i)=n+(n−1)+⋯+2+1==O(n)i=02次乘法和n次加法。秦九韶算法法二：若采用秦九韶算法p(x)=(⋯(ax+a)x+⋯+a)x+a01n−1n也可以表示为⎧b0=a0⎨∗b=bx+a,(i=1,2,⋯,n)⎩ii−1

15、i∗即b(x)=p(x)即为所求n∗只要计算n次乘法和n次加法就可算出P(x)的值。n第二章定理1(存在唯一性)满足插值条件的不超过n次的插值多项式是存在唯一的。2n⎡a0⎤⎡y0⎤⎡1x0x0⋯x0⎤⎢⎥⎢⎥⎢2n⎥⎢a1⎥⎢y1⎥1xx⋯x⎢111⎥⎢a⎥=⎢y⎥22⎢⋯⋯⋯⋯⋯⎥⎢⎥⎢⎥⎢2n⎥⎢⋯⎥⎢⋯⎥⎢⎣1xnxn⋯xn⎥⎦⎢⎥⎢⎥ay⎣n⎦⎣n⎦其系数行列式为范德蒙(Vandemonde)矩阵行列式2n1xx⋯x0002n1xx⋯x111A==∏(xi−xj)≠0⋯⋯⋯⋯⋯0≤j