数值分析1new

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1、数数值值分分析析前言前言p数值分析的任务¢数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科¢本课在计算机解题过程中担负着数据处理、数值方法的选择和研制、误差的分析、分配及估算等任务p数值分析是用来处理¢构造算法、使用算法、分析算法前言前言p数值分析讲述的基本内容¢如何把数学模型归结为数值问题¢如何制定快速的算法¢如何估计一个给定算法的精度¢分析误差在计算过程中的积累和传播¢如何构造精度更高的算法¢如何使算法较少的占用存储量¢如何分析算法的优缺点前言前言p本课程的基本要求¢掌握数值方法的基本原理¢构造算法的基本思想和技巧¢明确如何在计算机上使用第一章第一章数值计算中的误差数值计

2、算中的误差本章内容本章内容§1计数与数值§2舍入方法与有效数字§3算术运算中的误差§4算法举例§5数值计算中的误差§6误差分配原则与处理方法§§11计数与数值计数与数值1.11.1远古的计数远古的计数p1.数就是一串符号或字母的约定性组合,用以表示事物量或值的多寡程度p2.计数产生¢数值来源¢数的表示法象形文字符号字母写法写法巴比伦计数法罗马计数法1.21.2罗马记数法罗马记数法p1.记数法:¢用不多的几个字符就足够写出许多数的方法就叫做记数法p2.罗马记数法非常有意义¢罗马记数法创造了一种奇妙的符号来计数(1)(5)(10)(50)(100)I(1)V(5)X(10)I(1)V(5

3、)X(10)L(50)C(100)L(50)C(100)D(500)M(1000)D(500)M(1000)1.21.2罗马记数法罗马记数法p3.罗马记数法如何计数12345678910例如374ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅩⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅩ(20)CCCLXXⅣⅩⅩⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅩⅩ(30)ⅩⅩⅩⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩL(40)4008009001000更大的数如何表示呢？CDDCCCCMM1.31.3巴比伦记数法巴比伦记数法p1.古巴比伦人的文化非常发达¢1个明那=60个舍克尔¢货币流通量的增加需要更大的单位。¢1塔朗特银子=60明那银子(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7

4、)(8)(9)(10)(20)(30)(40)(50)(14)(28)2个塔朗特13个明那41个舍拉尔1.31.3巴比伦记数法巴比伦记数法p形成了抽象数。表示32个1加上21个60p2.由记号位置不同而具有不同单位的记数法称为进位制记数法p3.巴比伦记数法的缺点¢不会准确使用0这个字符；进位的基数太大，运算规律复杂1.41.4印度记数法印度记数法p1.15世纪后,印度文化发展起来，采用十进位制p2.公元七世纪，阿拉伯人学会了印度人的计数技巧，并传到欧洲，扩大到全世界。p3.数的念法各民族有专称。100hundred百万million(意)1000thousand十三世纪马可孛罗1,0

5、00,000millionmille(意大利文的千)1,000,000,000billion(美法)one(表示很多)1,000,000,000,000billion(英德)1.51.5中国计数法中国计数法p中国的数字分成横式和竖式123456789横式竖式例如128930481.61.6通用的记数法通用的记数法p定点形式（定点数)R进制定点数(αα…ααββ…β)nn-110.12mR=αRn+αRn-1+…+αR0+βR-1+βR-2+…+βR-mnn-1112m其中左边叫整数部分，右边叫小数部分¢其中每个数字α,β(i,j=0,1,…,n)是介于0与ijR-1之间的正整数¢该数

6、的总位数称为字长1.61.6通用的记数法通用的记数法p浮点形式（浮点数）Rp(0.dd…d)=Rp(dR-1+dR-2+…+dR-m)121mR12m其中P称为阶码，(0.dd…d)称为尾数121mR¢这里0≤d≤R-1,i=0,1,…,mi¢当d≠0时,称为规格化数;当d=0时，称为不规格化数11;尾数的位数称为字长(37.21829)=102(0.3721829)=103(0.03721829)101010定点数浮点规格数浮点非规格化§§22舍入方法舍入方法与有效数字与有效数字2.1.12.1.1绝对误差绝对误差p设A是精确值，a是近似值，则定义两者之差是绝对误差:∆=a-A为近

7、似数a的绝对误差，简称误差p

8、∆

9、=

10、a-A

11、<ε(上界)，称为绝对误差限。实际应用中经常使用这个量进行衡量。p由上式可推知a-ε

12、∆

13、=

14、a-A

15、=

16、1235-A

17、≤0.5毫米即1234.5≤A≤1235.5这表明A在[1234.5，1235.5]区间内，写成A=1235±0.5毫