数值分析第四讲new

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1、第四章方阵的特征值和特征向量由线性代数知，对于n阶方阵A，若存在常数和n维非零向量x，满足Ax=x，则称为A的一个特征值，称x为A的所对应的特征向量。本章将讨论几种常用的计算矩阵特征值及特征向量的数值方法,并只限A是实矩阵的情况.第一节幂法和反幂法4.1.1幂法幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和对应的特征向量.设A具有n个线性无关的特征向量x,x,…,x,其相应的特征12n值,,…,满足：12n

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、,(4.1)123n现任取一非零向量u令0uAu,k1,2,(4.2)kk1•1•结束得向量序

10、列{u},k=0,1,2,…k因x,x,…,x线性无关,故n维向量u必可由它们线性表示：12n0uxxx01122nn2kuAuAuAukk1k20kkkAxAxAx1122nnkkkxxx111222nnnk2knkxxx(4.3)11122nn1121,,n1设α1≠0,当k充分大时,11kux不是零向量,则u可近似地作k111k为对应的特征向量.1•2•结束实际计算时,为防止u的模过大或过小,以致产生计算机运算的

11、上下k溢出,通常每次迭代都对u进行归一化,使║u║=1,因此以上幂法kk∞公式改进为：yk1uk1uk1(4.4)uAyk1,2,kk1此时有

12、

13、=║u║，的符号由如下原则确定：当相邻两次的1k∞1u和u对应分量符号相同,取的符号为正；符号相反则为负.编制kk-11程序可采用如下算法：对A，任取非零向量u,对k=1,2,…执行以下各步骤：n×n01)

14、a

15、max

16、a

17、,a是u的分量,riik11in2)yu

18、a

19、,k1k1r3)uAy,kk14)tsgn(a)(u),krkr5)若

20、t-t

21、

22、<,令=t,x=y,kk-11k1k-1退出运算；否则返回1）重做以上步骤。•3•结束112例1求矩阵A205636按模最大的特征值和相应的特征向量1解:见表4－1所以≈5.008.x≈(0.2779,0.8865,1)T11而精确解为=5,x=(0.2778,0.8889,1)T.114.1.2幂法的其他复杂情况1.我们假设了A具有完全的特征向量系,即A具有n个线性无关的特征向量.当A不具有n个线性无关的特征向量时,幂法不适用,但事前往往无法判断这一点.因此在运用幂法时,发现不收敛或收敛很慢情况,要考虑

23、此种可能.•4•结束2.我们假设在(4.3)中α≠0,这在选择u时,也无法判断,但这10往往不影响幂法的成功使用.因为若选u,使α=0,由于舍入误01差的影响,在迭代某一步会产生u,它在x方向上的分量不为零,k1这时以后的迭代仍会收敛.3.我们假设了

24、

25、

26、

27、

28、

29、

30、

31、,123n若不具此条件,可能出现的情况有：(1),

32、

33、

34、

35、

36、

37、,12r1r1n(2);12(3);12对情况(1),归一化幂法(4.4)仍适用,但选择不同的u得到的特0征向量u是不同的.对情况(2)和(3)情况较复杂,(4

38、.4)得到的k序列不收敛,但可从序列中看出规律,推算出,,在正常情12况下,幂法编程很简单,但由于以上例外情况的存在,一个完善的幂法程序就很难实现了.•5•结束4.1.3反幂法由Ax=x易推得A-1x=(1/)x,若有iiiiii

39、

40、

41、

42、

43、

44、

45、

46、,123n则1/是A-1的按模最大的特征值,我们只要求出A-1的按模最大n的特征值,也就求出了A的按模最小的特征值.为了避免求逆阵,我们用解方程组的方法构造如下算法：对任意初始向量u作:0yuuk1k1k1k1,2,从Auy中解出ukk1k例2求例1中矩

47、阵A的按模最小特征值及相应特征向量计算结果如表4-2.取t=-1.000,xy=(-0.5,-1,-0.0001854)T31039•6•结束4.1.4原点平移加速技术从以上的讨论知,幂法的收敛速度主要由比值

48、/

49、确定.当这12个比值接近于1,即

50、

51、和

52、

53、很接近时,收敛将极慢,一个补救12的方法是原点平移加速.设矩阵B=A-tI,t为选择的平移量.设A的特征值为,不难证明iB的特征值应为-t,且A,B的特征向量相同.i适当选择t,使-t仍是B的按模最大特征值,且1t22,t11这时对B用幂法,求-t,比直接对

54、A求要快.而求出-t自然也111就求出了.1问题的关键在如何选择合适的t,既能较明显提高收敛速度,又不致于求出的是另一个特征值.•7•结束在实际