数值分析第八讲(3)new

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1、8.6数值微分在实际问题中,有时要计算函数的变化率即函数的导数或微商.当函数由表格形式给出时,去确定函数在节点上的导数或微商,称作数值微分.由插值法知道,一个由数表给出的函数f(x)可用一n次插值多项式P(x)去近似代替,自然想到用插值多项式P(x)的导数nn去近似地代替原函数f(x)的导数,即f(x)P(x)R(x)nnf(x)P(x)R(x)nn应当注意的是插值公式的余项.R’n(x)实质上很难计算.不过在插值节点,能够估计出它的值作为数值微分公式的误差.下面给出几个常用的公式:1结束一.两点公式已知y=f(x)在x=x和x的值y=f(x)和y=f(x),求f(x)和f(

2、x)01001101的近似值。xxxx10P(x)yy101xxxx011011yy110P(x)yy(yy)10110xxxxxxh011010余项推导:f()R(x)(xx)(xx)1012!f()f()R1(x)(xx0)(xx1)(xx0)(xx1)2!2!f()f()R(x)(xx)h,10012!2f()f()R(x)(xx)h11102!22结束因此有两点公式:1f()f(x)(yy)误差R1h010h2[1,2(x0,

3、x1)]1f()f(x)(yy)误差R2h110h2yy=f(x)y1y0xxx0013结束二.三点公式已知y=f(x)在x=x,x和x的值y=f(x),y=f(x)和y=f(x),012001122求f(x),f(x)和f(x)的近似值。012为此,令h=x-x=x-x,由二次拉格朗日插值公式可推出10211f()2f(x)(3y4yy)误差Rh00122h31f()2f(x1)(y0y2)误差Rh[(x0,x2)]2h61f()2f(x)(y4y3y)误差Rh20122h3f(x)的误

4、差最小。1中点公式的几何意义在下页的图6-3-2中。4结束yy=f(x)y2y00x0x1x2x图8-6-25结束应当强调的是数值微分公式的误差往往较难控制,这一方面是因为求插值余项的导数很困难,因而截断误差难以控制；另一方面因为避免不了相近数相减和绝对值很小的数作除数,因而舍入误差也难以控制.便用时应注意结合实际问题选用适当的节点和公式,以期获得满意的结果.6结束