数值分析第八讲(2)new

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1、§8.3复化求积公式从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)因而在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想.为叙述方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公，也可推出新的求积公式，读者可按实际问题的具

2、体情况讨论1结束8.3.1.复化梯形公式用n+1个分点将区间[a，b]n等分。每个区间长bah,n1个分点xakh,k0,1,2,,nknn1bxk1则f(x)dxf(x)dxaxkk0在[x，x]上用梯形公式，则kk+1n1n1bxxk1kf(x)dxf(xk1)f(xk)Rk[f]a2k0k0n1n1hf(a)f(b)2f(xk)Rk[f](8.18)2k1k0n1h记Tnf(a)f(b)2f(xk)(8.19)2k1T叫做复

3、化梯形求积公式，下标n表示将积分区间等分的份数.n2结束从公式的特点可以看出，内节点x(k=1,2,…n-1)作为小区间的端k点参与前、后两个小区间的计算，因而系数为2，端点a与b只参与一次计算，系数为1.如果在T的基础上，将各小区间对分，这时节点数为2n+1，分n段数为2n.记新的分点的函数值的和为σ，则T应为原内节n2n点与新增节点函数值的和的两倍，加上两端点a,b的函数值之和再乘上新区间长度的一半，即n1nhT2nf(a)f(b)2f(x2i)2f(x2i1)2i1i1n1n1hf(a)f

4、(b)2f(x2i)2f(x2i1)22i1i11(Th)(8.20)nn21或写为TTh(8.21)2nnn2这里hh,为对分新区间的长度.23结束从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值Tn作为一个整体保留.只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量.定理8.3设f(x)∈C2[a,b]，复化梯形公式的截断误差ba2R[T]hfξξ[a,b]n12(证明)这一复化梯形求积公式的余项在形式上与(8.13)式相同，不同的是，这

5、里的h=(b-a)/n，而(8.13)式中的h=b-a.利用复化求积公式的余项，我们可以估计出在满足精度的要求下，应将积分区间等分多少份，即n取多少.这种误差估计方法称为事前误差估计.如例8.34结束1例3利用复化梯形公式计算sinxIdxx0使其误差限为10-4，应将区间［0,1］几等分?1sinx解:因为被积函数f(x)costxdtx01k1(k)dkkf(x)costxdttcostxdtk0dx0211(k)kkk1f(x)tcostxdttdt.020k110

6、2121124R[T]hf()hh10.n121221362112h610,n10.h6取n=17可满足要求.5结束另一方法是利用公式前后两次计算结果的差来估计误差的，即用｜T-T｜＜ε,这是因为2nnbba2f(x)dxThfξn12ab2bahf(x)dxT2nfa122ba21TThff2nn124当f″(x)在[a,b]上连续，并且假定当n充分大时有f″(ξ)≈f″(η)，则2bahT2nTn

7、3f122b3f(x)dxT2n3R[T2n].a6结束1即R[T]TT2n2nn3因此当｜T-T｜＜ε时，可认为2nn1R[T]2n3这种误差估计方法通常叫做事后误差估计，在计算机上用来控制计算精度常用这一方法，有的也把这种方法叫做步长的自动选取或逐次对分的方法.7结束8.3.2复化抛物形公式将积分区间[a,b]2m等分，n=2m，节点为x=a+kh(k=0,1,2,…,2m)k，h=(b-a)/2m.在每两个小区间［x,x］(k=0,1,2,…,m-1)上用2k2k+2抛物形公式

8、，则有:bm1x2k2f(x)dxf(x)dxak0x2km1m1hf(x2k)4f(x2k1)f(x2k2)Rk[f]k0