数值分析1-2new

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1、§2数值计算的误差一、误差来源的分类二、误差分析的重要性三、绝对误差和绝对误差限四、相对误差和相对误差限五、有效数字六、数值运算的误差估计一、误差来源的类型1.模型误差从实际问题中抽象出数学模型——模型误差/*ModelingError*/2.观测误差通过测量得到模型中参数的值——观测误差/*MeasurementError*/注：通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差3.截断误差求近似解——方法误

2、差(截断误差)/*TruncationError*/例如：在微积分中sinx可展开成但在计算机中计算时，常用前几项来代替，即抛弃了无穷级数的后段，这样就产生了截断误差。当

3、x

4、很小时，常用x代替sinx，其截断误差大约为x3/6。由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差4.舍入误差机器字长有限——舍入误差/*RoundoffError*/在数值分析课程中，主要研究截断误差舍入误差二、误差分析的重要性考察如下两个方程组试思考这两个方程组的解的关系？

5、容易看出系数矩阵完全相同，而常数项矩阵有微小差别，右端系数1.9999变成2.0001，其误差为2.0001-1.9999=0.0002=0.02%但对应的解为由此看出系数矩阵完全相同，而常数项矩阵有微小差别的方程组，其解竟然相差得很大！解的最大误差=2=200%据说，美军1910年的一次部队的命令传递是这样的:营长对值班军官:明晚大约8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我

6、为他们放一部有关彗星的影片。值班军官对连长:根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。连长对排长:根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。排长对班长:明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。班长对士兵:在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长

7、的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。三、绝对误差和绝对误差限定义设某一量的准确值为x，近似值为x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为？判断题：绝对误差是误差的绝对值．绝对误差的性质(1)绝对误差e(x*)可正可负(2)

8、e(x*)

9、的大小标志着x*的精确度(3)绝对误差e(x*)未知定义若指定一个适当小的正数，使有时用表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。则称为近似值x*的绝对误差限。绝对误差限的性质(1)在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的，绝对

10、误差限也是有量纲的。例如，测得某物体的长度为5m，其误差限为0.01m(2)绝对误差限是正的，有无穷多个若已知是绝对误差限，由于则比大的任意正数均是绝对误差限。思考：误差限越大越好吗？四、相对误差和相对误差限决定一个量的近似值的精确度除了要看绝对误差的大小外，还要考虑到该量本身的大小。定义绝对误差与准确值之比称为x*的相对误差(2)由于准确值x未知，故实际问题中，当

11、

12、较小时，常取注(1)相对误差是个无量纲量。值小者精度高。当

13、

14、较小时，可用下式计算定义若指定一个适当小的正数，使则称为近似值x*的相

15、对误差限当x有很多位数字时，常按照“四舍五入”原则取前几位数字作为x的近似值例：设x=π=3.1415926···取x1*=3作为π的近似值，则五、有效数字取x2*=3.14作为π的近似值，则取x3*=3.1416作为π的近似值，则它们的误差都不超过末位数字的半个单位。若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位定义：有效数字例：x1*=3，x2*=3.14，x3*=3.1416作为π的近似值，则有效数字分别有多少位

16、？答：1，3，5例：准确数有多少位有效数字？答：无穷多位有效数字例：设x=4.26972，x1*=4.27，x2*=4.270分别是按四舍五入得到的近似值，问它们有何区别？（请同学们做！）解：x1*=4.27精确到0.01，有3位有效数字；而x2*=4.270精确到0.001，有4位有效数字，可见它们的近似程度完全不同。近似值后面的零不能随便省去！有效数字的性质(1)有效数字越多，则绝对误差越小(2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数