数学物理方程1-2new

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1、第二节定解条件湖南大学朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件一、弦振动方程的定解条件2u=au,00.ttxx1、初始条件u=j(),xu=y(),xt=0tt=02、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。则u=gt(),u=gt().x=01xl=2特别地u=0,u=0固定端边界条件x=0xl=第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为Gt(),Gt().12而弦两端所受张力的横向分量分别为Tu(0,),t-Tult(,).xx又因弦的两端在横向方向受力

2、平衡，所以有Tu(0,)t+Gt()=0,-Tult(,)+Gt()=0,x1x2则相应的边界条件为u(0,)t=gt(),ult(,)=gt(),x1x2Gt()Gt()12其中gt()=-,gt()=,12TT特别地u(0,)t=0,ult(,)=0,xx自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力x=0Tux(0,)t-ku1[(0,)t-q1()]tx=l-Tultx(,)-kult2[(,)-q2()]t于是有Tu(0,)t-ku[(0,)t-q()]0,t=x11-Tult(,)-kult[(,)-q()]t=0,x22则相应的边

3、界条件为u(0,)t-su(0,)t=gt(),x11ult(,)+sult(,)=gt(),x22其中kk12s=,s=,12TTkq()tkq()t1122gt()=-,gt()=.12TT例1长为l的弦两端固定，开始时把弦在距O点l处拉起来，拉起的高度为h（适当地小），4然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。uhOllx4二、热传导方程的定解条件2(,,)xyzÎW,t>0u=au(+u+u),txxyyzz1、初始条件u=j(,,).xyzt=02、边界条件第一类已知边界上的温度分布为g1(x,y,z,t),则u=gxyzt(,,,)

4、.¶W1第二类已知热量在边界上各点的热流密度为G(x,y,z,t),则由Fourier定律，有dQ¶u=-k¶W¶Wdsdt¶n¶u于是-k¶W=Gxyzt(,,,),特别地，¶n¶u则¶u¶W=0=gxyzt(,,,),¶n¶W2¶n其中G绝热边界条件g=-.2k第三类边界两侧有热交换若物体外面介质的温度为u1,内外两种介质的热交换系数为k1(>0),则由Newton实验定律，有dQ=kuudsdt(-),11从而有dQ=kuu(-)¶W11¶Wdsdt另一方面，由Fourier实验定律，有dQ¶u=-k¶W¶Wdsdt¶n¶u所以kuu1(-1)¶W=-k

5、¶W¶n故边界条件为¶u(+su)=gxyzt(,,,),¶W3¶n其中kk11s=,g=u.31kk2222例3考虑一球体(x+y+z£R)内的热传导过程，设其初始温度为j(,,)xyz，边界与外o界有热量交换，外界温度为20C,试写出其定解条件。解因为初始温度为j(,,)xyzu=j(,,).xyzt=0设球体的热传导系数为k，内外的热交换系数为k1，一方面，由Newton实验定律，有dQdQ=ku(-20)dsdt,Þ=ku1(-20)1dsdt另一方面，由Fourier实验定律，有¶udQ¶udQ=-kdsdt,Þ=-k¶ndsdt¶n2222所以在

6、球面x+y+z=R上,有¶u-k=ku(-20)1¶n于是¶uk1(+su)2222=20,ss=.x+y+z=R¶nk注对Laplace方程和Poisson方程只提边界条件，不提初始条件。而其边界条件的提法与热传导方程边界条件的提法类似。波动方程热传导方程u=gt(),x=01一u¶W=gxyzt1(,,,).u=gt().xl=2u(0,)t=gt(),¶u二x1=gxyzt(,,,),¶W2ult(,)=gt()¶nx2u(0,)t-su(0,)t=gt(),¶u三x11+su=gxyzt()¶W3(,,,),¶nult(,)+sult(,)=gt(),

7、x22小结一、在边界S上直接给出未知函数u的数值，即u=f,Dirichlet边界条件S1这种形式的边界条件称为第一类边界条件。二、在边界S上给出未知函数u的外法向导数的值，即¶uS=f2,Neumann边界条件¶n这种形式的边界条件称为第二类边界条件。三、在边界S上给出未知函数u及其外法向导数某种线性组合的值，即¶u(+su)S=f3,Robin边界条件¶n这种形式的边界条件称为第三类边界条件。在上述三种边界条件中，f1,f2,f3是与自变量有关的已知函数项，称之为自由项；若自由项fi恒为零，则称相应的边界条件为齐次的，否则称为非齐次的。