随机过程1-2new

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1、回顾上节课基本概念§2随机过程的数字特征随机过程、样本函数、参数集、状态空间、有限维分布函数族一、随机过程的数学期望和方差注：随机过程具有二重性。其一，对于固定的X(t)是一个随机变量；其二，对试验的每一次持续观察，得到的X(t)是t的普通函数，称为过程的样本函数。随机过程的均值函数表示的所有样本函数在时刻t的理论平均值，如图1－8（a）。需要指出是一条固定的曲线。而样本曲线绕曲线上下波动。随机过程的方差和标准差描绘它的样本曲线在各个t时刻对的分散程度。随机过程的方差用表示，即而的算术根称为随机过程的标准差，用表示；即显然

2、有称为随机过程的均方值。来描绘。数学期望和方差只考虑随机过程在任一时刻状态的数字特征，并没有反映在两个不同时刻的状态之间的联系。对任意两个固定时刻是两个随机变量，它们之间线性联系的密切程度可用相关系数二、随机过程的协方差函数和相关函数的协方差，称为随机过程的（自）协方差函数，记为,即如果两个随机过程的方差相同，可以用协方差函数绝对值的大小比较两个过程在时刻状态的线性联系密切程度。如图1-9(a)、(b)为具有相同数学期望和方差的两个随机过程。其中图（a）表示的随机过程的样本曲线，对每一条，具有近似的线性关系说明在两个时刻的

3、状态线性联系较密切，故的绝对值较大；而图(b)表示的随机过程，每一条样本曲线的变化起伏很大又不规则,说明在两个时刻的状态线性联系很不密切，故的绝对值较小。对连续概率分布情形，有协方差函数可以表示为这里的称为随机过程的（自）相关函数，记为即(2.1)和由（2.1）式，随机过程的协方差函数和相关函数的关系为(2.2)即方差可由协方差得到.当时,,此时协方差函数和相关函数是一致的.在的定义中,取,则数学期望为解:的分布密度为例1随机相位余弦波其中是正常数,而随机变量服从在区间上的均匀分布.求的数学期望,方差和相关函数.方差为相关

4、函数为■相关函数为解:数学期望其中常数，试求的数学期望和相关函数例2在上节例8中,随机过程总共有两条样本曲线■随机过程的数学期望称为随机过程的一阶矩；它的方差和相关函数称为随机过程的二阶矩。对随机过程也可一般地定义n阶矩。三、二阶矩过程和正态（随机）过程如果随机过程的一、二阶矩存在(即有限)，则称是二阶矩过程。从二阶矩过程的数学期望和相关函数出发讨论随机过程的性质，而允许不涉及它的有限维分布。这种理论称为随机过程的相关理论。在二阶矩过程中有一类正态过程，特别重要和有用。工程技术中有些随机过程就是正态过程。其中而C是协方差阵

5、,即则称是正态随机过程,或Gauss过程.如果随机过程有限维概率分布是一维或多维正态分布，即，任意，有四、相关函数的性质（1）相关函数是对称的，即证：（2）相关函数是非负定的，即对于任意和任意实数及任意复数，有显然,正态过程的有限维分布密度族被它的数学期望和协方差函数完全确定.证：这两条性质对协方差函数也成立。由于协方差函数为