随机过程-第二章 随机过程

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1、第二章随机过程在第一章中我们介绍了随机变量、随机向量，在其中我们主要考虑的是随机变量之间是相互独立的。随着现实问题研究的需要，我们需要进一步研究可能不是相互独立的有限多个或无穷多个随机变量，即本章所要介绍的随机过程。随机过程的历史可追溯到20世纪初Gibbs，Boltzman和Poincare等人在统计力学中的研究工作，以及后来Einstein，Weiner，Levy等人对Brown运动的研究，而整个学科的理论基础是由Kolmogorov和Doob奠定的，并由此开始了随机过程理论与应用研究的蓬勃发展阶段。2.1基本概念*本节主要是理解随机过程的概念，了解随

2、机变量与随机过程的区别，学会构造随机过程*定义2.1：随机过程是定义在概率空间,,FP上的一族随机变量XettT(,),（简记为XttT(),），其中e，t是参数，T称为参数集。参数集T可以是时间集也可以是长度、重量、速度等物理量，随机过程本来通称为随机函数，当参数集T是时间集时称为随机过程。但现在将参数不是时间集的随机函数也称为随机过程，对参数集T不再有时间集的限制。通常我们把t解释成时间，且称Xt()是随机过程在时刻t的状态。Xt()的所有可能状态构成的集合为状态空间，记为S。根据T及S的不同过程对随机过程进行分类：依照状态空间S

3、可分为连续状态和离散状态；依照参数集T可分为离散参数过程和连续参数过程。常见的随机过程，如随机游走（RandomWalk）、布朗运动（BrownWalk）、排队模型等。随机游走：一个醉汉在路上行走，以概率P前进一步，以概率1P后退一步（假定其步长相同）。以Xt()记他t时刻在路上的位置，则Xt()就是直线上的随机游走。布朗运动：英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种运动后来称为Brown运动。记((),())XtYt为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上的随机过程。排除模型：顾客来到服务站要求服务，当服务站中的服务员

4、都忙碌，即服务员都在为别的顾客服务时，来到的顾客就要排除等候。顾客的到来、每个顾客所需的服务时间都是随机的，所以如果用Xt()表示t时刻的队长，用Yt()表示t时刻到来的顾客所需的等待时间，则XttT(),,YttT(),都是随机过程。注：本节限定在实随机过程，与之对应的还有复随机过程。小结：如何理解随机过程（1）随机过程Xet(,)是随机变量Xe()的推广。随机变量是固定时间t上的试验结果，-1-是一个数的集合；而随机过程是在tT上的试验结果，是一个时间函数的集合。（2）随机变量Xe()是定义在上的函数，对每个e，都有确定的x与之对应

5、；而随机过程当e时，对应的Xet(,)又是t的函数，称为样本函数或样本曲线。因此，随机过程将随机变量从e与实数的对应推广到e与实函数的对应。（3）随机过程是一族随机变量，参数集T中有多少元素，Xet(,)就含有多少个随机变量。随机过程又是一族样本函数，每个e对应一个样本函数，因此中含有多少个基本事件，随机过程就有多少个样本函数。2.2有限维分布和Kolmogorov定理研究随机变量的统计规律性，关键在于掌握其分布函数Fx()PXx。类似地，def对于随机过程XttT(),，研究其分布函数Ftx(,)PXt()x同样非常重要。

6、定义2.2：定义随机过程XttT(),的n维分布函数Ft1,,tn(,x1,xn)PXt()1x1,,()Xtnxn我们称F(,x,x),,t,,tn1为随机过程XttT(),的有限分布族。t1,,tn1n1n一个随机过程的有限维分布族具有下述两个性质：（1）对称性对(1,2,,)n的任一排列(,,jj,)j，有12nF(x,,x)tj1,,tjnj1jnPXt()j11xj,,Xt()jnnxjPXt()11x,,Xt()nnxF(,x,x)t1,,tn1n（2）相容性对于mn

7、，有F(,x,x,,,)F(,x,x)t1,,,ttmm1,,tn1mt1,,tm1m对应具有有限分布族的随机过程XttT(),的特征函数(,u,u)Ee(iuXt(1()1uXtn())n)eiuXt(1()1uXtn())ndF(,x,x)t11,,tnn1nt,,t1n称为随机过程XttT(),的有限维特征函数族。有限维特征函数族具有两个性质：-2-（1）对称性对(1,2,,)n的任一排列(,,jj,)j，有12n(,u,u)(u,,u)t11,,tn

8、1ntj1,,tjnjjn（2）相容性对于mn，有(,u,