《随机过程》第二章习题

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1、中国科学院大学2014～2015第一学期随机过程讲稿孙应飞第二章Markov过程习题1、设{,n1}为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：nP{1}p0,P{0}q1p0nn定义随机序列{X,n2}和{Y,n2}如下：nn0,n0,n10;1,n0,n11;0,n0,n10;XnYn2,1,0;1,其它;nn13,1,1;nn1试问随机序列{X,n2}和{Y,n2}是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转nn移概率矩阵并研究各个状态的性质。不是的话，请说明

2、理由。2、天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。试求此马氏链的转移概率矩阵。3、设{X;n0}是一齐次马氏链，状态空间为S{0,1,2}，它的初始状态的概率分布n为：P{X0}1/4，P{X1}1/2，P{X2}1/4，它的一步转移转移概000率矩阵为：13044111P333

3、13044（1）计算概率：P{X0,X1,X1}；012(2)(3)（2）计算p,p。01124、独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以表示前n次抛掷出的最大点数，试证明n{;n1}是一马氏链，并求其n步转移概率矩阵。n5、设有一个三个状态S{0,1,2}的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：p1q10P0p2q2q0p33中国科学院大学2014～2015第一学期随机过程讲稿孙应飞试求：(1)(2)(3)(1)(2)(3)（1）f,f,f,f,f,f；000000010101（2）确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于

4、非常返的。6、试确定下列齐次马氏链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。已知该链的一步转移矩阵为：p00p01p0201/21/2（1）Pp10p11p121/201/2；ppp1/21/20202122p00p01p02p03p041/201/200p10p11p12p13p141/41/21/400（2）Pppppp1/201/200；2021222324p30p31p32p33p340001/21/2p40p41p42p43p440001/2

5、1/2p00p01p02p03p041/43/4000p10p11p12p13p141/21/2000（3）Pppppp00100。2021222324p30p31p32p33p34001/32/30p40p41p42p43p44100007、设具有三个状态的齐次马氏链的一步转移概率矩阵为：p00p01p021/201/2Pp10p11p121/302/3ppp1/403/4202122(3)（a）求3步首达概率f；02（b）写出三个状态的常返性、周期

6、性；此链是否遍历？说明理由。8、设{X;n0,1,2,}是一齐次马氏链，其初始分布为nP{X0}p,P{X1}p,P{X2}p,P{X3}p00010203一步转移概率矩阵为：p00p01p02p0301/201/2p10p11p12p130010Ppppp000120212223p30p31p32p331/2001/2（1）试求概率P{X0,X1,X1}；012(2)（2）计算p；01中国科学院大学2014～2015第一学期随机过程讲稿孙应飞(n)（3）试求首达概率f,n1,

7、2,3,；00（4）写出四个状态的常返性、周期性；此链是否遍历？说明理由。9、考虑三个状态的齐次马氏链，其转移概率矩阵为p00p01p02100Pp10p11p12pqrppp001202122其中：p,q,r0,pqr1，（a）假定过程从状态1出发，试求过程被状态0（或2）吸收的概率；（b）试求过程进入吸收态而永远停留在那里所需的平均时间。10、设齐次马氏链X,n0,S1,2,3,4,一步转移概率矩阵如下：n001/21/2001/21/2P1/21/2001/21/2

8、00（1