2005级《高等数学》(ⅱ)期中试题与参考答案_细_new

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1、中国石油大学（北京）2005-2006学年第二学期《高等数学》(Ⅱ)期中考试试题参考答案(2006.4.23.)题号一二三四五六七八总分得分202081010101012100一、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11211.设f(x,y)是连续函数，若交换积分∫∫dx∫f(x,y)dy+dx∫f(x,y)dy的积分次序,则01−x1x−1211+y原式=∫∫dyf(x,y)dx.01−y212.函数zx=+ln(y)在（1，1）点处沿(cosα,sinα)=(,1)方向的方向导数值最大，25且该最大方向导数的值是.2∂z12y1

2、11=cosαα+sin=cosα+sinα=(,1)⋅(cosα,sinα)=+1cosϕ2(,)112(,)11∂lxy+xy+224vv1vv其中ϕ为l=(cosα,sinα)与g=(,1)的夹角，所以ϕ=0时，即l与g同向时，方向导数取最2∂z5大值=.(1,1)∂l222b+ba+a3.求位于两圆r=acosθ,r=bcosθ(0

3、一个符合题目要求．）2221222∂z∂z∂z1.设u=,r=x+y+z,则++=A.222r∂x∂y∂z121A.0B.C.D.2rrr第1页(共5页)2005-2006学年第二学期《高等数学》()Ⅱ期中考试试题参考答案222.设函数zxy=−23，则下列叙述正确的是C.A.函数z在点(,)00处取得极大值B.函数z在点(,)00处取得极小值C.点(,)00非函数z的极值点D.点(,)00是函数z的最大值点或最小值点，但不是极值点⎧a,0≤x≤23.设f(x)=⎨(a>0,且a为常数),D是全平面,则∫∫f(x)f(y−x)dxdy=D.⎩

4、0,其它D2a222A.B.aC.2aD.4a2yz⎛ππ⎞4.曲面z=e+xsin(x+y)在点⎜,0,1+⎟处的法线方程为D.⎝22⎠ππππx−z−1−x−z−1−2y22y2A.==B.==1π1−1π−11+1+22ππππx−z−1−x−z−1−2y22y2C.==D.==−1π11π−11+1+22三、（本题满分8分）设z=f(u,x,xy),u=ϕ(x,xy),其中f,ϕ均具有连续的二阶偏导数,2∂z试求.∂x∂y∂z【解】=f1(ϕ1+yϕ2)+f2+yf3；∂x2∂z=(f11xϕ2+f13x)(ϕ1+yϕ2)+f1(xϕ

5、12+xyϕ22+ϕ2)+∂x∂yfxϕ+xf+y(fxϕ+fx)+f21223312333=xϕ2(ϕ1+yϕ2)f11+x(ϕ1+2yϕ2)f13+xϕ2f21+xf23+xyf33+f1(xϕ12+xyϕ22+ϕ2)+f3.◆2y四、（本题满分10分）设u=f(x,y,z),ϕ(x,e,z)=0,y=sinx,其中f,ϕ均具有一阶连续∂ϕdu偏导数,且≠0,求全导数.∂zdx⎧du∂f∂fdy∂fdz=++LL(1)⎧u=f(x,y,z)⎪dx∂x∂ydx∂zdx⎪⎪2y⎪ydydz【解】由⎨ϕ(x,e,z)=0,⇒⎨ϕ12x+ϕ2e+

6、ϕ3=0L(2)⎪⎪dxdx⎩y=sinxdy⎪=cosxLLLL(3)⎪⎩dx第2页(共5页)2005-2006学年第二学期《高等数学》()Ⅱ期中考试试题参考答案dz1y(3)代入(2),得:=−(2xϕ+cosxϕe)LLL(4)12dxϕ3du∂f∂f1y∂f将(3),(4)代入(1)得:=+cosx−(2xϕ+cosxϕe).◆12dx∂x∂yϕ∂z322五、（本题满分10分）试求曲面积分∫∫(xy+yz+zx)dS,其中∑为锥面z=x+y被柱面∑22x+y=2ax(a>0)所截的部分.2222【解】曲面∑的方程为:z=x+y,其在x

7、y面的投影为D:x+y≤2ax,x2y2面积元素为dS=1+()+()dσ=2dxdy2222x+yx+y由于∑关于zox面对称,且被积函数xy+yz=(x+z)y关于y是奇函数,∴∫∫(xy+yz)dS=0Σ22故有:I=∫∫(xy+yz+zx)dS=∫∫zxdS⇒2∫∫xx+ydxdy∑∑Dππ422acosθ22(2acosθ)46424=2∫πdθ∫0rcosθ⋅rdr=2∫−πcosθdθ=82aI5=a.◆−41522x−yx+4y六、（本题满分10分）计算I=dx+dy,其中L是以(1,0)为圆心,∫Lx2+4y2x2+4y2R

8、(R≠1)为半径的圆周,L的方向为逆时针方向.x−yx+4y【解】QP=,Q=2222x+4yx+4y2222∂Px−y−x−4y−8y(x−y)−x+4y−8xy