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1、《高等数学下》期中试题参考答案嘉善光彪学院专业本科2005年级2006.4一．填空题(每小题3分，共21分)1．===.2．òdx=òdx+òdx=2òdx+0=2ò(1-)dx=2-2arctanx
2、=2-p/23．ò=ò=arctan(x+1)
3、=p/2–(-p/2)=p4．空间曲线在XOY平面上的投影为5．设z=ln(x+lny),则-=•-=06．交换òdyòf(x,y)dx积分次序得òdxòf(x,y)dx7．设f(x)是连续函数，且òf(t)dt=x，则f(7)=。两边求导得到f(x3-1)3x2=1，将x=2代入得到f(7)=1/12二。单项选择题（在每小题的
4、四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。每小题3分，共18分。）8.下列等式正确的是（C）Ａ、òf(x)dx=f(x)Ｂ、òf(t)dt=f(x)Ｃ、òf(t)dt=f(x)Ｄ、òf¢(x)dx=f(x)正确的关系式为：Ａ、òf(x)dx=0Ｂ、òf(t)dt=0Ｃ、òf(t)dt=f(x)Ｄ、òf¢(x)dx=f(x)+C9.设òf(t)dt=f(x)-，且f(0)=1，则f(x)=（A）A、e2xB、exC、eD、e2x两边求导得到f(x)=f¢(x),只有f(x)=e2x10.已知函数f(x+y,xy)=x2+y2，则+=（B）A、2x+2
5、yB、2x–2C、2x–2yD、2x+2f(x+y,xy)=(x+y)2-2xy,f(u,v)=u2-2v,所以f(x,y)=x2-2y=x2+y2+=2x-211.二元函数z=x2+y2+4(x-y)的极小值为(D)A、8B、-12C、16D、-8=2x+4,=2y-4,z的极小值点为(-2,2)，z=x2+y2+4(x-y)的极小值为–812.下列广义积分收敛的是（C）Ａ、òＢ、òdxＣ、òＤ、ò利用常用广义积分的指数判别法ò收敛13.f(x,y)=ln则=（C）A、B、C、D、-因为=•=，所以=三。计算题(每小题6分，共36分)14.计算定积分òedx[解]：原积分
6、Iòtetdt=tet
7、-òetdt=3e3-e–(e3-e)=2e315.计算定积分òdx[解]：原积分Iò2tdt=2òarctantd(arctant)=[(arctant)2]=()2-()2=7p2/14416.已知z=f(x2y,x-2y)，求,,.[解]：=f1¢2xy+f2¢=f1¢x2-2f2¢=(f11²x2-2f12²)2xy+2xf1¢+f21²x2–2f22²=2x3yf11²+(x2-4xy)f12²–2f22²+2xf1¢17.z=z(x,y)由方程2xz–2xyz+ln(xyz)=0确定，求(1,1)点处的全微分。[解]：x=1,y=1Þz=
8、1Fx¢
9、(1,1,1)=[2z-2yz+yz/xyz]
10、(1,1,1)=1Fz¢
11、(1,1,1)=[2x–2xy+xy/xyz]
12、(1,1,1)=1Fy¢
13、(1,1,1)=[-2xz+xz/xyz]
14、(1,1,1)=-1
15、(1,1)=-
16、(1,1)=-1,
17、(1,1)=-
18、(1,1)=1dz=dx+dy=-dx+dy18.计算二重积分D:0£x£1,0£y£1[解]：原积分I=òdxòxexydy=òexy
19、dx=ò(ex-1)dx=(ex-x)
20、=e-1-1=e-219.计算二重积分，D:x2+y2=2x,y=x,X轴所围成的区域。[解一]：原积分I==òdyòydx=
21、òy(1+-y)dy=[y2-(1-y2)3/2-y3]=-+=[解二]：原积分I=òdqòrsinqrdr=ò[sinq]dq=òcos3qdcosq=[]=四、应用题（每小题9分，共18分。）20.求由曲线y=与此曲线在点(1,1)处的切线及X轴所围平面图形面积S及此图形绕X轴旋转而成的旋转体体积V。[解]：y¢
22、(1,1)=1/2
23、(1,1)=1/2切线方程：y-1=(1/2)(x-1)2y-1=x交点A(-1,0),B(1,1)S=ò(y2-2y+1)dy=[y3/3-y2+y]=1/3V=pò()2dx-pò()2dx=[]-p[]=p(-)=21.投入原料A,B
24、各x,y单位，生产数量z=0.01x2y。A,B原料的单价分别为10元，20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大。[解]：目标函数：z=0.01x2y约束条件：10x+20y=300设F(x,y,l)=0.01x2y+l(10x+20y-300)消去l得到0.04xy-0.01x2=0Þx(4y-x)=0x=4y解得x=200,y=50，当A原料购买200单位，B原料购买50单位时，生产数量最大。五、证明题（每小题7分，共7分。）22.证明：òx5f(x3)dx=òxf(x)dx[
