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《2007级《高等数学》(ⅱ)期中试题(定)参考答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中国石油大学（北京）2007-2008学年第二学期《高等数学》(Ⅱ)期中考试试题与参考答案(2008.4.19.)题号一二三四五六七总分得分3010101010101010100一、填空题（本题包括6小题，共计10个空，每空3分，本题满分30分）1.极限lim(x2+y2)ln(x2+y2)=0.x→0y→02.(,)221;函数fxy=x+y在点(0,0)处沿方向l=(−1,0)的方向导数是在点(0,0)的偏导数是否存在不存在.3.z=f(x,y)在点(x,y)可微是其在该点偏导数存在且偏导数连续的必要条件;而z=f(x,y)在点(x,
2、y)可微是其在该点偏导数存在的充分条件.1111xy4．交换积分次序2dxf(x,y)dy=4dyf(x,y)dx+2dy2f(x,y)dx.∫0∫x2∫0∫y∫1∫y4222225.设Ω是由x+y+z≤2z与z≤x+y,z≥0所围成的有界闭区域,f为连续函数,则2π1r22222I=f(x+y+z)dv在柱面坐标下的三次积分是dθdrf(r+z)rdz;∫∫∫∫0∫0∫1−1−r2Ωπ2π2cosϕI=f(x2+y2+z2)dv在球面坐标下的三次积分是dθ2dϕf(r)r2sinϕdr.∫∫∫∫0∫π∫0Ω432226.若曲线积分∫(a
3、xy−ycosx)dx+(1+bysinx+3xy)dy与路经无关,其中L是平面上L一条按段光滑的曲线段,则a=2;b=−2.二、计算题（本题包括2小题，每小题10分，本题满分20分）2221．求曲面z=xy上某点处的切平面,并使得该切平面的法向量与函数u=x+y+z在点P(1,2,1)处的梯度平行.r解设切点为M0(x0,y0,z0),则曲面在该点的法向量为:n=(−y0,−x0,1)又gradu(1,2,1)=(2x,2y,2z)=(2,4,2)=2(1,2,1),P第1页（共4页）2007-2008学年第二学期《高等数学》()Ⅱ期中
4、考试试题与参考答案r−y0−x01由题意:n//gradu(1,2,1),⇒====1,121r∴x0=−2,y0=−1,⇒z0=x0y0=2.即切点M0(−2,−1,2),法向量n=(1,2,1)∴切平面方程为:(x+2)+2(y+1)+(z−2)=0,即x+2y+z+2=0.◆2．:22(0),()2.设L为圆周x+y=axa>求曲线积分∫x+ydsL解由于L关于x=0的对称性,及xy是x的奇函数,∴∫xyds=0L22222∴曲线积分∫L(x+y)ds=∫L(x+y)ds+2∫Lxyds=∫L(x+y)ds.⎧aax=cost+⎪⎪
5、22又L的参数方程:⎨,0≤t≤2π.⎪ay=sint⎪⎩2a222a222a22ds=dx+dy=()(cost+sint)dt=被积函数:x+y=(1+cost),dt22223332222πaaa2πaπa∴∫L(x+y)ds=∫L(x+y)=∫0(1+cost)dt=∫0dt=⋅2π=.◆22442三、(本题满分10分)设z=f[ϕ(x−y),xy],其中f具有二阶连续偏导数,ϕ二阶可导,2∂z试求.∂x∂y∂z解=f1⋅[ϕ(x−y)]′x+f2⋅y=f1ϕ′+yf2∂x∂2z∂(f1ϕ′+yf2)∂(f1)∂(ϕ′)∂(f)=
6、=⋅ϕ′+f⋅+y⋅2+f12∂x∂y∂y∂y∂y∂y=[f11⋅(ϕ(x−y))y+f12⋅x]⋅ϕ′+f1⋅(−ϕ′′)+y⋅[f21⋅(ϕ(x−y))y+f22⋅x]+f2=(f11(−ϕ′)+f12⋅x)⋅ϕ′−f1ϕ′′+y⋅(f21(−ϕ′)+xf22)+f22=−ϕ′f11+(x−y)ϕ′f12+xyf22−ϕ′′f1+f2.◆四、(本题满分10分)计算二重积分∫∫(x+y)dxdy,其中D是由x=2,y=−1,y=1,曲线D第2页（共4页）2007-2008学年第二学期《高等数学》()Ⅱ期中考试试题与参考答案22x+y=1
7、(x≥0)所围成的平面区域.解由积分区域关于y=0的对称性,∴∫∫ydxdy=0,D又∫∫xdxdy=∫∫xdxdy−∫∫xdxdyD⎧0≤x≤2⎧ππD1:⎨−1≤y≤1D:⎪−≤θ≤⎩2⎨22⎪⎩0≤r≤1π2112110=xdxdy−2dθrcosθdr=4−2I1⋅=,∫∫0−1∫∫−π033210∴∫∫(x+y)dxdy=∫∫xdxdy=.◆3DD五、(本题满分10分)设L是点O(0,0)沿摆线x=a(t−sint),y=a(1−cost)(a>0)到点A(2πa,0)xx的曲线段,求曲线积分:I=∫(esiny−my)dx+(
8、ecosy−m)dy(m≠0,为实常数).L2(注:摆线第一拱与x轴所围成的平面区域的面积是:3πa)∂P∂xx∂Q∂xx解Q=(esiny−my)=ecosy−m,=(ecosy−m)=ec
