2009年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及参考答案new

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1、2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题及参考答案（文专类）一、计算题（每小题12分，满分60分）n1i1.求极限lim2isinnnni1n1i111111解limn2isin=0xsinxdx=0xdxcos=(cosxxx00cosdx)nni11111=(1sinx)=0x2．计算不定积分dx1xxx44解dx=dx1x=1xxC1xx332100xxx3．设fx()(tan1)[(tan2)(tan100)]，求f(1)4442100xxx解f

2、x()(tan1)[(tan2)(tan100)]44421002xxxfx()sec[(tan2)(tan100)]44442100xxx(tan1)[(tan2)(tan100)]4442f(1)sec[(12)(1100)]=99!442xcott4．设cos2t，t(0,)，求此曲线的拐点ysintdydx2解csccottt2cost，csctdtdt2dy2dy3cos(12sin)tt，3sincos2tt2dxdx12dy3令0得tt

3、,212dx442dy当0t时，0，24dx23dy当t时，0，244dx23dy当t时，0，24dx因此拐点为(1,0),(1,0)1x2x25．已知极限lim(eaxbx)1，求常数的值ab,x01x21(2)eaxxblim(eaxbx1)limx2x2x0x2x02x解lim(eaxbx)=e=e=1x0x于是lim(ea2xb)0，b1x0x(2ea)1由lim0，得ax022x211eaxbx1xx22xe22xaxbx1x2另解lim(e

4、axbx)lim(1eaxbx1)xx00x2eaxbx1limx0x2e＝11222x21(xxoxa)xbx1eaxbx12limlim22xx00xx122(1bx)(axox)()21lim0ab,12x0x2xx23二、（满分20分）设ff(0)0,0()1x，证明：当x0时，((ftdt))ftdt()00xx23证设F()(xf())tdtf()tdt00x2则F(0)0，F()xfxft()[2()dtfx()]，0由f(0)0且0(

5、fx)1，知当x0时，fx()0。2x2又设gx()2ftdtfx()()0则gg(0)0,()2()[1xfxf()]0x，所以Fx()0,从而FxF()(0),不等式得证.12t三、（满分20分）设gx()

6、xtedt

7、，求gx()的最小值11212tt证当x1时，gx()2xedt，，gx()2edt0，故当x1时gx()单调增加；001212tt当x1时，gx()2xedt，gx()2edt0故当x1时gx()单调减少；00x221tt当11x时，gx()

8、(xtedt)(txedt)1xxx222112ttttxedttedttedtxedt，11xxx221x2tttgx()edtedt=edt。1xx由gx()0得x0。当10x时，gx()0，当01x时，gx()0，112t故x0是gx()的极小值点，又gg(1)(1)2edtd2t200122tt1gt(0)2edte

9、=e1，故gx()的最小值为ge(0)100222xx四、（满分20分）Vexsindxex(sin)dx022x

10、x222exxexx(cos2sin)(cos2sin)=(1e)55052五、（满分15分）设Ft()ln(12costxtd)x，证明：02（1）Ft()为偶函数；（2）Ft()2()Ft2证（1）F()ttln(12cosxt)dx0xu22ln(12cosuxud)xln(12costxtd)xFt()002222（2）2()FtFtFt()()=ln[(1ttx)4cos)]dx02xy124222ln(12cos2txt)dxl

11、n(12(tyt)cos())dy0222222