2010浙江省高等数学(微积分)竞赛试题.doc

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1、2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限2．计算．其中3．请用描述圆落在椭圆内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求其中的方向成右手系。5．设连续，满足且,求的值。二、（满分20）定义数列如下：，求。三、（满分20分）设函数，且，，证明：。四、（满分20分）设非负函数f在［0，1］上满足且，证明：（1）（2）五、（满分20分）设全体正整数集合为，若集合对加法封闭（即），且G内所有元

2、素的最大公约数为1，证明：存在正整数N，当正整数n>N时，（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限2．计算3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求,其中的方向成右手系。5．设连续，满足,求的值。二、（满分20分）定义数列如下：，求。三、（满分20分）设有圆盘随着时间t的变化，圆盘中心沿曲线向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r(t)随时间改变，有，求在时间段内圆盘所扫过的空间体积。四、（满分20）证明：当，五、（

3、满分20分）证明：（经管类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限2．求不定积分3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。4．设为小于等于的最大整数，，求5．设连续，满足,求。二、（满分20分）设有一个等边三角形，内部放满n排半径相同的圆，彼此相切（如图为n=4的情形），记A为等边三角形的面积，为n排圆的面积之和，求.三、（满分20分）设，其中P(x)为5次多项式，证明：（1）f(x)必有极值点；（2）f(x)必有奇数个极值点。四、（满分20分）证明：当，五、（满分20分）定义数列如下：，求。（文专类）一计算题：（

4、每小题14分，满分70分）1．已知，求。2．求不定积分。3．请用描述圆落在椭圆内的充分必要条件。4．求曲线与直线所围成的平面区域绕轴旋转一周所得的旋转体体积Ｖ。5．设连续，满足,求。二、（满分20分）设有一个等边三角形，内部放满n排半径相同的圆，彼此相切（如图为n=4的情形），记A为等边三角形的面积，为n排圆的面积之和，求。三、（满分20分）计算。四、（满分20）定义数列如下：，求.五、（满分20分）设，证明：（1）f(x)必有极值点；（2）f(x)必有奇数个极值点。2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（数学

5、类）一、计算题：1．解：原极限=2．解：令,　原积分3．解：落在椭圆内的充分必要条件即为到的距离。而要求最小值,只需讨论,可得充分必要条件为此时椭圆面积记即易得为椭圆的最小面积为。4．解：原积分=－　　　　5．解：而二、解：即单调增且设则即有界。可知收敛记其极限为,有　三、证明：且可取得即有当时四、证明：（1）　　（２）五、证明：由条件存在中有限个数,不妨设为,其最大公约数为1。本题即要证：存在正整数N，当正整数n>N时，方程有非负整数解。先证明：若的最大公约数为1，　有非负整数解。易知被除的余数都不相同，则必与某一，被除

6、的余数相同，即被整除，有非负整数解．若最大公约数为　　则　有非负整数解。　有非负整数解。（最大公约数为）一般的有　有非负整数解。对充分大的。（工科类）一、计算题：1．（解答见数学类第一题第1小题）2．解：3．解：记4．（解答见数学类第一题第4小题）5．解：二、（解答见数学类第二题）三、解：四、证明：五、证明：易知（经管类）一、计算题1．解原极限=2．解：原积分3．（解答见工科类第一题第3小题）4．解：5．解：　　　　二、解：设圆的半径为，三角形边长为，则有三、证明：若是重零点则若若(2)四、（解答见工科类第四题）五、（解答

7、见数学类第二题）（文专类）一、计算题1．解：2、（解答见经管类第一题第2小题）3、（解答见数学类第一题第3小题）4．解：5、（解答见经管类第一题第5小题）二、（解答见经管类第二题）三、解：四、（解答见数学类第二题）五、（解答见经管类第三题）