概率论与数理统计第十七讲new

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1、第第7 7 章章参数估计参数估计本章建立本章建立参数估计的两类方法参数估计的两类方法及及估计效果的评判准则估计效果的评判准则7.7.1 1 参数估计的概念参数估计的概念§解决的问题题: ①在①在总体分布形式已知已知时时,, 估计其估计其未知参数参数; ②在②在总体分布形式已知或未知知时时,, 估计其估计其数字特征征. §两类方法两类方法: ①①点估计法法:: 为获得未知参数的估计值而由样本构造统计量统计量(( 称为称为估计量量); ②②区间估计法计法:: 由样本构造本构造随机区间机区间,, 使得它以给定的大

2、概率包含未知参数知参数. §定义定义: 设总体设总体X的参数数θθ未知未知,, (( X11,, X22, , ∙∙∙∙ ,, Xnn)) 是是X的样本样本.. 构造一个统计量计量qˆ(X 1, X 2 , L, X n )作为参数作为参数θ的估计的估计,, 称称qˆ(X 1, X 2 , L, X n )为为θθ的一个的一个估计量量.. 若有若有XX 的观测值(( x 1,x ,x 2,, ∙∙∙∙ ,, x n),), 称qˆ(x1, x2 , L, xn )为为θθ的一个的一个估计值估计值.. 7.7

3、.2 2 点估计点估计:: 矩估计法和极大似然法矩估计法和极大似然法77.2.1.2.1矩矩估计法估计法§思想思想:: 用用样本原点矩矩A k估计对应的估计对应的总体原点矩原点矩EX k§依据依据:: 辛钦大数定律律(( n→∞→∞时时,, A k→→EX k(( p)) ) §定义定义:: 设总体设总体X的概率密度为率密度为f(( xx ;θθ)) (( 当当X为离散型时时,, f(( xx ;θθ)== P(( X=x=x ;θθ)),), θθ== (( θθ1,, ∙∙∙∙ ,, θθll )) 为

4、待估的未知参数数,, (( X11, , ∙∙∙∙ ,, Xnn)) 是是X的样本的样本.. 又设总体又设总体l阶原点矩原点矩EXl l 存在在.. 令令EXkk (( θθ1,, θθ2,, ∙∙∙∙ ,, θθll )=)= Akk ,, kk =1,2, ∙∙∙,, l. 此方程组的解的解qˆ=(qˆ1, qˆ2 , L, qˆl)称为参数称为参数θθ,, =(( θθ11,, θθ2, ,, ∙∙∙∙ ,, θθll )) 的的矩估计量矩估计量(( moment estimator)r) .. §应

5、用举例例例11 设总体设总体XX 服从服从BB (NN ,, pp )二项分布二项分布. (1)当参数参数NN 已知已知,, 求求pp 的矩估计的矩估计;(2)求参数参数NN ,, pp 的矩估计的矩估计. 例例22 设设(XX 1,, XX 22, , ∙∙∙∙∙∙ ,, XX nn)是取自总体是取自总体XX 的样本的样本,, 求总体均值均值µ==EXEX 和方差和方差σσ22==DX的矩估计的矩估计. 问题问题:若总体若总体X~P((λλ), λλ的矩估计为何的矩估计为何?? 注注①矩法可推广为①矩法可

6、推广为““ 用用样本矩样本矩作为对应的作为对应的总体矩总体矩的估计的估计”” ;②用矩法估计总体矩时②用矩法估计总体矩时,, 不需要已知总体的分布形式不需要已知总体的分布形式;2 ~2 ③对任何均值③对任何均值μμ方差方差σσ22存在的总体都有存在的总体都有:mˆ=X, sˆ =SMM④参数的矩估计量不一定是唯一的④参数的矩估计量不一定是唯一的;77.2.2.2.2极极大似然大似然估计估计法法§问题问题:: 设总体设总体X的分布形式已知但参数数θθ未知未知,, (( X11,, X22, , ∙∙∙∙ ,,

7、 Xnn)) 为为X的样本样本,, (( x 1,x ,x 2,, ∙∙∙∙ ,, x n)) 为一组样本一组样本观测值,试估计参数参数θθ. §依据极大似然原理:认为在一次试验中就发生的事件发生的概率最大. §思想:视(( x 1,x ,x 2,, ∙∙∙∙ ,, x n)) 为一次试为验结果,则P(( X11=x x 1,, X22=x x 2, , ∙∙∙,, Xnn=x n)) 最大,即n n ìÕP ( X i =x i ; q) =ˆ Õf ( x i ; q) 最大, 对D . R . V .

8、 X ; ïi =1i =1 L ( q) =ín ïÕf ( x i ; q) 最大, 对C . R . V . X ; îi =1 故参数q的估计qˆ应满足：L(qˆ)=max L(q)q§定义定义7.1设总体设总体X的概率密度为为f(( xx ;θθ)()( 当当X为离散型时散型时,, f(( xx ;θθ)=)= P(( X== xx ;θθ)),)), θθ== (( θθ11,, θθ22,, ∙∙∙