概率论与数理统计第17讲 9.11new

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1、概率论与数理统计第17讲（夜大）第二节抽样分布定义：设是来自总体X的一个样本，是的函数，若中不含有未知参数，则称是一统计量。因为都是随机变量，而统计量是随机变量的函数，因此统计量是一个随机变量，设是相应于样本的样本值，则称是的观察值。下面列出几个常用的统计量。设是来自总体X的一个样本，是这一样本的观察值。定义样本均值样本方差样本标准差样本阶（原点）矩样本阶中心矩它们的观察值分别为（大写字母变成小写）…。这些观察值仍然分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本阶（原点）矩以及样本阶中心矩。我们指出，若总体X的阶矩存在，则当时，。这是因为独立且与X同分布，所以独

2、立且与同分布。故有由大数定律（辛钦定理）知道：6进而由依概率收敛的序列的性质，有：其中为连续函数。这就是矩估计法的理论基础。统计量的分布称为抽样分布。在使用统计量进行统计推断时常需要知道它的分布。当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的。下面介绍几个常用统计量的分布。一、分布设是来自正态总体的样本，则称统计量服从自由度为的分布，记为。此处自由度是指等式右边包含的独立变量的个数。统计量的性质：（1）可加性。设，，并且相互独立，则有（由分布的可加性可得）（2）若，则有事实上，因为，所以，于是，分布的分位点对于给定的正数

3、，，称满足条件的点为分布的上分位点，如图所示。对于不同的，上分位点的值已经制成表格，可以查表来求。例如对于，查表得。但是需要说明该表只列到为止，费舍曾证明，当充分大时，近似地有其中是标准正态分布的上分位点。利用该式可以求时分布的上分位点的近似值。6二、分布设，且X，Y相互独立，则称随机变量服从自由度为的分布。记为。分布又称为学生氏分布（1907年英国统计学家Gosset以笔名Student首次发表）。分布的概率密度函数为的图形关于对称，当充分大时其图形类似与标准正态分布概率密度的图形。事实上，利用函数的性质，可得故当足够大时，分布近似于标准正态分布。但对于较小

4、的，分布与标准正态分布相差较大。分布的分位点对于给定的正数，，称满足条件点为分布的上分位点，如图所示。由分布上分位点的定义及图形的对称性可知分布上分位点可查表求得。在时，对于常用的值，就用正态近似：三、F分布设，，且U，V相互独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记为。由定义可知，若，则分布的分位点对于给定的正数，，称满足条件的点为分布的上分位点，如图所示。上分位点的值已经制成表格，可以查表来求。分布的上6分位点有以下重要性质：上式常用来求F分布表中未列出的常用的上分位点。四、正态总体的样本均值与样本方差的分布设总体X（不管服从什么分布，只要均值和方差存在）的

5、均值为，方差为，是来自X的一个样本，是样本均值和样本方差，则总有进而，设，可知也服从正态分布，于是有以下定理：定理一设是来自正态总体的样本，是样本均值，则有对于正态总体的样本均值和样本方差，有以下两个重要定理。定理二设是来自正态总体的样本，是样本均值和样本方差，则有（1）；（2）相互独立定理三设是来自正态总体的样本，是样本均值和样本方差，则有对于两个正态总体的样本均值和样本方差有以下定理定理四设与是来自正态总体和6的样本，且这两个样本相互独立（即随机变量（）与（）相互独立）。设分别是这两个样本的样本均值和样本方差，并有则有（1）；（2）当时，其中需要说明的是，

6、我们在这一部分介绍的三大统计分布以及四个定理是后面统计的基础，应当注意的是它们都是在总体为正态这一基本假定下得到的。例1已知，求的分布。解：由分布定义，则，其中，，故，其中，由F分布定义，则。例2设X与Y相互独立且都服从正态分布，而分别是来自总体X与Y的简单随机样本，求统计量的分布。解：根据题意，独立且都服从，从而由正态分布的可加性知道分布，于是，而，从而，进而由分布的可加性，有，由分布定义，有6例3设是来自总体X的样本，现又获得第个观察值，试证明：证明：作业：谈学习概率论与数理统计的体会（第四次课交）6