把含有12个元素的集分成6个子集

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1、蒀羄羀肇薂螇袆肆蚅蕿膄膆莄螅肀膅蒇薈羆膄虿螃羂膃荿蚆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃膀蚆袀罿膀莅蚃袅艿蒈袈螁芈薀蚁肀芇芀袆肅芆蒂蝿羁芅薄羅袇芄蚇螇膆芄莆薀肂芃蒈螆羈莂薁蕿袄莁芀螄螀莀莃薇腿荿薅袂肅莈蚇蚅羁莈莇袁袇莇葿蚃膅莆薂衿肁蒅蚄蚂羇蒄莄袇袃肁蒆蚀衿肀蚈羅膈聿莈螈肄肈蒀羄羀肇薂螇袆肆蚅蕿膄膆莄螅肀膅蒇薈羆膄虿螃羂膃荿蚆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃膀蚆袀罿膀莅蚃袅艿蒈袈螁芈薀蚁肀芇芀袆肅芆蒂蝿羁芅薄羅袇芄蚇螇膆芄莆薀肂芃蒈螆羈莂薁蕿袄莁芀螄螀莀莃薇腿荿薅袂肅莈蚇蚅羁莈莇袁袇莇葿蚃膅莆薂衿肁蒅蚄蚂羇蒄莄袇袃肁蒆蚀衿肀蚈羅膈聿莈螈肄肈蒀羄羀肇薂螇袆肆蚅蕿膄膆莄螅肀膅蒇薈羆膄虿螃羂膃荿蚆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃膀蚆

2、袀罿膀莅蚃袅艿蒈袈螁芈薀蚁肀芇芀袆肅芆蒂蝿羁芅薄羅袇芄蚇螇膆芄莆薀肂芃蒈螆羈莂薁蕿袄莁芀螄螀莀莃薇腿荿薅袂肅莈蚇蚅羁莈莇袁袇莇葿蚃膅莆薂衿肁蒅蚄蚂羇蒄莄袇袃肁蒆蚀衿肀蚈羅膈聿莈螈肄肈蒀羄羀肇薂螇袆肆蚅蕿膄膆莄螅肀膅蒇薈羆膄虿螃羂膃荿蚆袈膂蒁袁膇膁薃蚄肃B1－001 把含有12个元素的集分成6个子集，每个子集都含有2个元素，有多少种分法？【题说】1969年～1970年波兰数学奥林匹克三试题5．【解】将12个元素排成一列有12！种方法．排定后，从左到右每2个一组就得到6个2元子集．同一组中2个元素顺序交换得到的是同一子集．6个子集顺序交换得到的是同样的分法，因此共有种不同的分法．[别

3、解]设a1是集中的一个元素，将a1与其余11个元素中的任一个结合，就得到含a1的2元子集，这种2元子集共有11种．确定含a1的子集后，设a2是剩下的一个元素，将a2与其余9个元素中的任一个结合，就得到含a2的2元子集，这种子集共有9种．如此继续下去，得到6个2元子集．共有11×9×7×5×3=10395种分法．B1－002 证明：任一个有限集的全部子集可以这样地排列顺序，使任何两个邻接的集相差一个元素．【题说】1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题5．【证】设有限集A含n个元素．当n=1时，子集序列φ，A即满足条件．假设n=k时命题成立，对于k＋1元集A=｛x1，x2，…，

4、xk+1｝由归纳假设，{x1，x2，…，xk}的子集可排成序列B1，B2，…，Bt（t=2k）满足要求．因此A的子集也可排成序列B1，B2，…，Bt，Bt∪{xk+1}，Bt-1∪{xk+1}，…，B2∪{xk+1}B1∪{xk+1}，满足要求．于是命题对一切自然数n均成立． B1－003 设1≤r≤n，考虑集合{1，2，3，…，n}的所有含r个元素的子集及每个这样的子集中的最小元素，用F（n，r）表示一切这样的子集各自的最小元素的算术平均数．证明：【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题2．这n－k个数中选出）．所以将（1）式右边的和写成一个表将上表每一行加起来，再将

5、这些行和相加便得（1）的右边的分子，现B1－004 定义一个数集的和为该集的所有元素的和．设S是一些不大于15的正整数组成的集，假设S的任意两个不相交的子集有不相同的和，具有这个性质的集合S的和的最大值是多少？【题说】第四届（1986年）美国数学邀请赛题12．【解】先证明S元素个数至多是5．如果多于5个，则元素个数不S的元素个数≤5，所以S的和≤15＋14＋13＋12＋11=65．如果S的和≥62，则S的元数为5，并且15、14均在S中（S的和至多比15＋14＋13＋12＋11少3）．这时S中无其它的连续整数，因而只有一种情况即｛15，14，13，11，9），不难看出它不满足条件

6、．所以，S的和≤61．特别地，S={15，14，13，11，8}时，和取最大值61．B1－006 对有限集合A，存在函数f：N→A具有下述性质：若

7、i－j

8、是素数，则f（i）≠f（j），N={1，2，…}．求有限集合A的元素的最少个数．【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题4．【解】1，3，6，8中每两个数的差为素数，所以f（1），f（3），f（6），f（8）互不相同，

9、A

10、≥4．另一方面，令A={0，1，2，3}．对每一自然数n，令f（n）为n除以4所得余数，则在f（i）=f（j）时，

11、i－j

12、被4整除．因而f是满足条件的函数．于是，A的元素个数最少为4．B1－007 集合

13、{1，2，3，…，100}的某些子集，满足条件：没有一个数是另一个数的2倍．这样的子集中所含元素的个数最多是多少？【题说】1991年河南省数学奥林匹克集训班一试题1（6）．原题为选择题．【解】令A1=｛51，52，…，100｝，A2=｛26，27，…，50｝，A3=｛13，14，…，25｝，A4=（7，8，9，10，11，12），A5=（4，5，6｝，A6={2，3}，A7={1}．A1∪A3∪A5∪A7共50＋13＋3＋1=67个元素，每一个都不是另一个的两倍．若集合B｛1，2