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1、2015-2016学年度第一学期高三数学中档题训练4(12.24)1.如图，一楼房高AB为19巧米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC为4米的广告牌，CD为拉杆,广告牌的倾角为60。，安装过程中，一身高为厲米的监理人员EF站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE=x米，该监理人员观察广告牌的视角ZBFC=0；(1)试将tan0表示为x的函数；(2)求点E的位置，使&取得最大值.2•已知圆C：x2+y2=9,点A（-5,0）,直线1：x-2y=0・（1）求与圆C相切，且与直线1垂直的直线方程；（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A）,
2、满足：对于圆C上任一点P,都有旦为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.PA2015-2016学年度第一学期高三数学中档题训练4（12.24）答案1・解析：（1）作CG丄AE于G,作丄AB于交CG于M,作BN丄CG于N,贝=ZCFM—ZBFH；在直角ABCW中，BC=4,ZCBN=60°,贝！JBN=2,CN=2^；在直角4CFM中，MFAE-BNx-2在直角ABFH屮，ZBF喘峠tan6=tan(ZCFM一ZBFH)=tanZ.CFM-tanZ.BFH1+tanZCFM-tanZBFH20V318>/3x-2x_2/3x+36/3f20^318>/3~x2-2x+1()8()x-2x再
3、由题意可知：监理人员只能在G点右侧，即氏（2,+oo）・（2）由⑴得*宀弟揺加耐令心”，则心。，+莎・•tan&=2巧x(/_］刖一2(一18)+1080=2^Xr2-38r+1440=?的乂柑口40觇~12V10-19，当且仅当/=上巴即/=12価时，等号成立；此时，x=12x/10-18；又易知：&是锐角,即心与，而円在心冷）是增函数;14分・••当x=12x/T5-18时，&取最大值.■2•考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用.分析：（1）先求与直线1垂直的直线的斜率，可得其方程，利用相切求出结果.（2）先设存在，利用都有旦为一常数这一条件，以及P在圆上，列出关系，利用恒成立，可以
4、PA求得结果.解答：解：（1）设所求直线方程为y=・2x+b,即2x+y・b=0,V直线与圆相切，.
5、-b
6、二3,得b二±3頁,・・・所求直线方程为尸-2x13^5，(2)方法1：假设存在这样的点B(t,0),当P为圆C与x轴左交点(・3,0)时，雯二*3丨；PA2当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，—-I1~3LPA8依题意，h±gJL」t-引,解得，匸・5(舍去)，或t二-2285下面证明点B(-9,0)对于圆C上任一点P,都有旦为一常数.5PA设P(x,y),则y2=9-x2,9__(丄9、22,IS81.Q218(Fj_1rr•pA2一(x+5)2+y2一x2+10x+25+9-x
7、2~2(5x+17)2亏丿+yX+—x+—+9-X—(5x+lQ从而歆为常数.方法2：假设存在这样的点B(t,0),使得普为常数入，则PBSPA2,/.(x-t)2+y2=X2[(x+5)2+y2],将y2=9-x2代入得,x2-2xt+t2+9・x2=A2(x2+10x+25+9-x2),即2(5X2+t)x+34入$-t2-9=0对xGL-3,3]恒成立,入』(舍去),5X2+t=0妙侣5(入二134入2-t2-9二0t二-卫X二一5所以存在点B(-卫，0)对于圆C上任一点P,都有旦为常数25PA5点评：本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，又是存在性和探究性问题，恒成立问题，考査
8、计算能力.是难题.
