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时间：2019-03-03
《2018_2019高中数学第3章空间向量与立体几何315空间向量的数量积学案苏教版选修2_1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.5空间向量的数量积【学习目标】1.理解空I'可向量的夹角及有关概念.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途.3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直，会求空间两向量的夹角.问题导学预习新知夯实基础知识点一空间向量的夹角1.定义：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点0,作0A=a.~0B=b,则Z/k矽叫做向量曰与向量b的夹角，记作〈曰，方〉.2.图形表示：角度表示〈a,方〉=0ababOBA2、日，b）J.4.空间向量的垂直：如果〈曰，b）=y,那么称$与b互相垂直，记作$丄0.知识点二空间向量的数量积思考两个向量的数量积是数量，还是向量？答案数量，由数量积的定义$・b=a\bcos3、a4、5、^6、cos（a,方〉叫做0方的数量积.②记作：a•b,即a•b=a7、Z?8、cos〈日，b）.（2）运算律:交换律a•b=b•a数乘向量与向量数量积的结合律(a)・b=人(q・b)(人UR)分配律a•(方+c)—a•b+a•c(3)坐标表示:已知非零向量弘氏a=yi,zi),b=g乃9、，急)，则②2丄Zx=>a•b=Ooxi卫+口比+ziZ2=0・①ImI=yja•彳+说+分.q七曲+口乃+刀22②COSJa、b/—/2丄2丄2/2I210、2-丫加十口十刀•丫応十乃十刁2知识点三空间中两点间的距离公式思考空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗?答案空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.梳理在空间直角坐标系中，设A(x},y},刃，B(x2,y2,z2),贝UAB=寸3—Q+(口一必)'+(Z1—".p-思考辨析判断正误11.若a•Z>=0,则0=0或方=0.(X)2.11、坐标系下的点.(X)3.在中，〈為，BC)=Z〃.(X)题型探究4.对于向量日，总有a~=a.(V)启迪思维探究重点类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①”・d=(p・V②p+q•p-q=P'—q'；③若日与(a•Z?)•c—(a•c)•b均不为0,则它们垂直.解①此命题不正确.••22II2II2.p-q=p•SI,而(p・q)2=(12、p13、•丨q14、・cos〈p,q))2=p2*q29cos2〈p,q),当且仅当p//q时,p•q=(P90)1②此命题不15、正确.p~q=I(p+q)•(p—g)I=p+q•p~q•Icos〈p+g,p~q)I，・••当且仅当(p+q)//(p—q)时,p+q*p~q=p—q-③此命题正确.a•[(a•A)•c—(a•c)•b]=a•(a•Z?)•c—a•(a•c)•b=(a•Z?)(a•c)—(a•A)(a•c)=0,且$与(a•H)・c—($・c)・b均为非零向量，a与(a■b)・c~(£・c)•b垂直・⑵设0=16、a17、=3,18、b=4,求：©a•b；②(3a—2b)•($+2b).解®Va•b=19、a20、Z>21、cos〈a,方〉,•'•m•方=322、X4Xcosl20°=—6.(2)V(3a—2b)•(a+2Z>)=31a23、2+4a•b—424、A25、'=31a26、2+4a\bcosl20°—4b2,A(3a-2Z>)・Q+2方)=3X9+4X3X4x(—2—4X16=27—24—64=—61.反思与感悟1•已知0b的模及力与&的夹角，直接代入数量积的公式计算.2.如果欲求的是关于8与方的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用日・a=27、a28、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1己知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么a+Zb=•答案伍解析*.*29、$+3方F=(a+3Z>)2=a2+630、a•b+9b'=l+6Xcos60°+9=13,・・・仏+3力31、=莎.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCD—AAGD中，AB=AAx=2,AD=4fF为侧面ABB^的中心，F为仙的中点.试计算：⑴花•方T；⑵亦而T；（3）Z?^~FG.解如图，设AB=a,Ai）=b,AA=c,则Ia32、=33、c34、=2,35、b=4,a•b=b•c=c•q=0・⑴花、・励=庞?・（鬲+初）=b・-（c-a）+A=36、引2=42=16.（2）亦•茁=（贡+祚）・（繭+亦）=（c—q+*M・（a+c'）=c2~a2=22-22=0
2、日，b）J.4.空间向量的垂直：如果〈曰，b）=y,那么称$与b互相垂直，记作$丄0.知识点二空间向量的数量积思考两个向量的数量积是数量，还是向量？答案数量，由数量积的定义$・b=a\bcos3、a4、5、^6、cos（a,方〉叫做0方的数量积.②记作：a•b,即a•b=a7、Z?8、cos〈日，b）.（2）运算律:交换律a•b=b•a数乘向量与向量数量积的结合律(a)・b=人(q・b)(人UR)分配律a•(方+c)—a•b+a•c(3)坐标表示:已知非零向量弘氏a=yi,zi),b=g乃9、，急)，则②2丄Zx=>a•b=Ooxi卫+口比+ziZ2=0・①ImI=yja•彳+说+分.q七曲+口乃+刀22②COSJa、b/—/2丄2丄2/2I210、2-丫加十口十刀•丫応十乃十刁2知识点三空间中两点间的距离公式思考空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗?答案空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.梳理在空间直角坐标系中，设A(x},y},刃，B(x2,y2,z2),贝UAB=寸3—Q+(口一必)'+(Z1—".p-思考辨析判断正误11.若a•Z>=0,则0=0或方=0.(X)2.11、坐标系下的点.(X)3.在中，〈為，BC)=Z〃.(X)题型探究4.对于向量日，总有a~=a.(V)启迪思维探究重点类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①”・d=(p・V②p+q•p-q=P'—q'；③若日与(a•Z?)•c—(a•c)•b均不为0,则它们垂直.解①此命题不正确.••22II2II2.p-q=p•SI,而(p・q)2=(12、p13、•丨q14、・cos〈p,q))2=p2*q29cos2〈p,q),当且仅当p//q时,p•q=(P90)1②此命题不15、正确.p~q=I(p+q)•(p—g)I=p+q•p~q•Icos〈p+g,p~q)I，・••当且仅当(p+q)//(p—q)时,p+q*p~q=p—q-③此命题正确.a•[(a•A)•c—(a•c)•b]=a•(a•Z?)•c—a•(a•c)•b=(a•Z?)(a•c)—(a•A)(a•c)=0,且$与(a•H)・c—($・c)・b均为非零向量，a与(a■b)・c~(£・c)•b垂直・⑵设0=16、a17、=3,18、b=4,求：©a•b；②(3a—2b)•($+2b).解®Va•b=19、a20、Z>21、cos〈a,方〉,•'•m•方=322、X4Xcosl20°=—6.(2)V(3a—2b)•(a+2Z>)=31a23、2+4a•b—424、A25、'=31a26、2+4a\bcosl20°—4b2,A(3a-2Z>)・Q+2方)=3X9+4X3X4x(—2—4X16=27—24—64=—61.反思与感悟1•已知0b的模及力与&的夹角，直接代入数量积的公式计算.2.如果欲求的是关于8与方的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用日・a=27、a28、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1己知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么a+Zb=•答案伍解析*.*29、$+3方F=(a+3Z>)2=a2+630、a•b+9b'=l+6Xcos60°+9=13,・・・仏+3力31、=莎.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCD—AAGD中，AB=AAx=2,AD=4fF为侧面ABB^的中心，F为仙的中点.试计算：⑴花•方T；⑵亦而T；（3）Z?^~FG.解如图，设AB=a,Ai）=b,AA=c,则Ia32、=33、c34、=2,35、b=4,a•b=b•c=c•q=0・⑴花、・励=庞?・（鬲+初）=b・-（c-a）+A=36、引2=42=16.（2）亦•茁=（贡+祚）・（繭+亦）=（c—q+*M・（a+c'）=c2~a2=22-22=0
3、a
4、
5、^
6、cos（a,方〉叫做0方的数量积.②记作：a•b,即a•b=a
7、Z?
8、cos〈日，b）.（2）运算律:交换律a•b=b•a数乘向量与向量数量积的结合律(a)・b=人(q・b)(人UR)分配律a•(方+c)—a•b+a•c(3)坐标表示:已知非零向量弘氏a=yi,zi),b=g乃
9、，急)，则②2丄Zx=>a•b=Ooxi卫+口比+ziZ2=0・①ImI=yja•彳+说+分.q七曲+口乃+刀22②COSJa、b/—/2丄2丄2/2I2
10、2-丫加十口十刀•丫応十乃十刁2知识点三空间中两点间的距离公式思考空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗?答案空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.梳理在空间直角坐标系中，设A(x},y},刃，B(x2,y2,z2),贝UAB=寸3—Q+(口一必)'+(Z1—".p-思考辨析判断正误11.若a•Z>=0,则0=0或方=0.(X)2.11、坐标系下的点.(X)3.在中，〈為，BC)=Z〃.(X)题型探究4.对于向量日，总有a~=a.(V)启迪思维探究重点类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①”・d=(p・V②p+q•p-q=P'—q'；③若日与(a•Z?)•c—(a•c)•b均不为0,则它们垂直.解①此命题不正确.••22II2II2.p-q=p•SI,而(p・q)2=(12、p13、•丨q14、・cos〈p,q))2=p2*q29cos2〈p,q),当且仅当p//q时,p•q=(P90)1②此命题不15、正确.p~q=I(p+q)•(p—g)I=p+q•p~q•Icos〈p+g,p~q)I，・••当且仅当(p+q)//(p—q)时,p+q*p~q=p—q-③此命题正确.a•[(a•A)•c—(a•c)•b]=a•(a•Z?)•c—a•(a•c)•b=(a•Z?)(a•c)—(a•A)(a•c)=0,且$与(a•H)・c—($・c)・b均为非零向量，a与(a■b)・c~(£・c)•b垂直・⑵设0=16、a17、=3,18、b=4,求：©a•b；②(3a—2b)•($+2b).解®Va•b=19、a20、Z>21、cos〈a,方〉,•'•m•方=322、X4Xcosl20°=—6.(2)V(3a—2b)•(a+2Z>)=31a23、2+4a•b—424、A25、'=31a26、2+4a\bcosl20°—4b2,A(3a-2Z>)・Q+2方)=3X9+4X3X4x(—2—4X16=27—24—64=—61.反思与感悟1•已知0b的模及力与&的夹角，直接代入数量积的公式计算.2.如果欲求的是关于8与方的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用日・a=27、a28、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1己知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么a+Zb=•答案伍解析*.*29、$+3方F=(a+3Z>)2=a2+630、a•b+9b'=l+6Xcos60°+9=13,・・・仏+3力31、=莎.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCD—AAGD中，AB=AAx=2,AD=4fF为侧面ABB^的中心，F为仙的中点.试计算：⑴花•方T；⑵亦而T；（3）Z?^~FG.解如图，设AB=a,Ai）=b,AA=c,则Ia32、=33、c34、=2,35、b=4,a•b=b•c=c•q=0・⑴花、・励=庞?・（鬲+初）=b・-（c-a）+A=36、引2=42=16.（2）亦•茁=（贡+祚）・（繭+亦）=（c—q+*M・（a+c'）=c2~a2=22-22=0
11、坐标系下的点.(X)3.在中，〈為，BC)=Z〃.(X)题型探究4.对于向量日，总有a~=a.(V)启迪思维探究重点类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①”・d=(p・V②p+q•p-q=P'—q'；③若日与(a•Z?)•c—(a•c)•b均不为0,则它们垂直.解①此命题不正确.••22II2II2.p-q=p•SI,而(p・q)2=(
12、p
13、•丨q
14、・cos〈p,q))2=p2*q29cos2〈p,q),当且仅当p//q时,p•q=(P90)1②此命题不
15、正确.p~q=I(p+q)•(p—g)I=p+q•p~q•Icos〈p+g,p~q)I，・••当且仅当(p+q)//(p—q)时,p+q*p~q=p—q-③此命题正确.a•[(a•A)•c—(a•c)•b]=a•(a•Z?)•c—a•(a•c)•b=(a•Z?)(a•c)—(a•A)(a•c)=0,且$与(a•H)・c—($・c)・b均为非零向量，a与(a■b)・c~(£・c)•b垂直・⑵设0=16、a17、=3,18、b=4,求：©a•b；②(3a—2b)•($+2b).解®Va•b=19、a20、Z>21、cos〈a,方〉,•'•m•方=322、X4Xcosl20°=—6.(2)V(3a—2b)•(a+2Z>)=31a23、2+4a•b—424、A25、'=31a26、2+4a\bcosl20°—4b2,A(3a-2Z>)・Q+2方)=3X9+4X3X4x(—2—4X16=27—24—64=—61.反思与感悟1•已知0b的模及力与&的夹角，直接代入数量积的公式计算.2.如果欲求的是关于8与方的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用日・a=27、a28、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1己知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么a+Zb=•答案伍解析*.*29、$+3方F=(a+3Z>)2=a2+630、a•b+9b'=l+6Xcos60°+9=13,・・・仏+3力31、=莎.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCD—AAGD中，AB=AAx=2,AD=4fF为侧面ABB^的中心，F为仙的中点.试计算：⑴花•方T；⑵亦而T；（3）Z?^~FG.解如图，设AB=a,Ai）=b,AA=c,则Ia32、=33、c34、=2,35、b=4,a•b=b•c=c•q=0・⑴花、・励=庞?・（鬲+初）=b・-（c-a）+A=36、引2=42=16.（2）亦•茁=（贡+祚）・（繭+亦）=（c—q+*M・（a+c'）=c2~a2=22-22=0
16、a
17、=3,
18、b=4,求：©a•b；②(3a—2b)•($+2b).解®Va•b=
19、a
20、Z>
21、cos〈a,方〉,•'•m•方=3
22、X4Xcosl20°=—6.(2)V(3a—2b)•(a+2Z>)=31a
23、2+4a•b—4
24、A
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26、2+4a\bcosl20°—4b2,A(3a-2Z>)・Q+2方)=3X9+4X3X4x(—2—4X16=27—24—64=—61.反思与感悟1•已知0b的模及力与&的夹角，直接代入数量积的公式计算.2.如果欲求的是关于8与方的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用日・a=
27、a
28、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1己知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么a+Zb=•答案伍解析*.*
29、$+3方F=(a+3Z>)2=a2+6
30、a•b+9b'=l+6Xcos60°+9=13,・・・仏+3力
31、=莎.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCD—AAGD中，AB=AAx=2,AD=4fF为侧面ABB^的中心，F为仙的中点.试计算：⑴花•方T；⑵亦而T；（3）Z?^~FG.解如图，设AB=a,Ai）=b,AA=c,则Ia
32、=
33、c
34、=2,
35、b=4,a•b=b•c=c•q=0・⑴花、・励=庞?・（鬲+初）=b・-（c-a）+A=
36、引2=42=16.（2）亦•茁=（贡+祚）・（繭+亦）=（c—q+*M・（a+c'）=c2~a2=22-22=0
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