2、cos(a,方〉叫做方的数量积，记作a•b
3、.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(Aa)・b=久(a•6)交换律a•b=b■a分配律a•(0+c)=a•b+a9c(3)数量积的性质①若日，方是非零向量，则力丄b^a•b=0两个②若a与6同向,则a•b=a-b；向量若反向，则a•b=—a•b.数量特别地，a•a=a2或
4、引=寸8•a积的a■b性质③若"为日"的夹角，则C0S”一/g〃引④
5、a•b
6、W
7、a・〃歹题型探究重点突破题型一空间向量的数量积运算例1如图所示，已知空间四边形肋①的每条边和对角线长都等于1，点ACE,尸分别是血A〃〃的中点
8、，计算：⑴厉•励；(2)>•励；(3)丽•庞⑷亦•菖：解⑴厉•应=諭•励=》劭・I画•cos〈场,BA)=*X1X1Xcos60°=£所以亦.菇=£(2)丽•加*
9、丽・
10、丽・cos(BD,丽=
11、xiXlXcos0°=
12、,所以厉・~BD=^.(3)ZF•雇詠・DC=^~BD・
13、庞
14、・cos〈丽DO=
15、xiXlXcos120°=-
16、,所以丽.~DC=-~(4)亦~CE=^:(BD+^A)^(CB+~CA)=*［丽・(—必+场・(—月b+丽・~CA+~BA・CA=#［一励・~BC~~BA・~BC+(CD~~CB)・CA+^B・
17、~AC1(_1_1+1_1+1)=_14、22222，&反思与感悟由向量数量积的定义知，要求a与方的数量枳，需已知I引，丨方I和〈曰，a与方的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使2•方计算准确.跟踪训练1已知空I'可向量b、c满足$+b+c=0,丨引=3,
18、方
19、=1,
20、c
21、=4,则爲・b+b•c+c•a的值为•答案T3解析Ta+b+c=0,化(a+b+c)2=0,/•a2+b2+c2+2(a•b+b•c+c•a)=0,/.a•b+b•c+c•a=32+12+42_2B题型二利用数量积求夹角例2如图，在空间四
22、边形OABC'g01=8,力〃=6,^6=4,BC=5,ZOAC=45Q,ZO4B=6L,求01与〃C所成角的余弦值.解因为辰旋•一旋所以鬲•旋=鬲・AC-OA^7b= A\ACcos〈鬲，7c)~~0A\7bcos〈茹，AB)=8X4Xcos135°-8X6Xcos120°=一1汕+24.所以cos〈鬲，~BC）OA^~BC24-16^23-2^2=OA\BcC8X5=5即刃与％所成角的余弦值为~~型2反思与感悟利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：（1）根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；（2）将
23、求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；（3）利用向量的数量积求角的大小；（4）证明两向量垂直可转化为数量积为零.跟踪训练2如图所示，正四面体月敝的每条棱长都等于日，点财,分别是力〃，〃的中点，求证：MNJAB,MNA_CD.—►—►—►―►—►—►—►―►1—►―►证明屈V・AB={MB+BC+C^)・AB={MB+BC+~CD)・AB=(MB+BC+^AD-^AC)■AB=—a2+a2cos120°+pcos60°-pcos60°=0所以赢丄AB,即W±力〃•同理可证恵V丄CD.题型三利用数量积求距离例3正三棱柱ABCA
24、'BG的各棱长都为2,E、尸分别是肋、4G的中点,解如图所示，设AB=a,~AC=byAA=c.由题意知a=b=c=2,且〈a,b）=60°,〈曰，c〉=（A,c）=90°.所以Efl—~EF2=~Efi+c"詁X2出X22+22+2X（-#X2X2cos60°=1+1+4一1=5,所以EF=並反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两Z间的夹角以及它们的模，利用公式
25、引=何7求解即可.
26、跟踪训练3如图，已知一个60°的二而角的棱上有两点B,AQ弘分别是在这两个而内且垂直于肋的线段.又知AB=.化=6,BD=8,求皿的长.解CAVAB.BD1AB,:.（CA,丽=120°・*:~cd=ca+7b+~bd,且鬲・乔=0,励・乔=0,:.cb
