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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：第三章+空间向量与立体几何315+空间向量的数量积+W》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.5空间向量的数量积[学习目标]1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.自主学习目知识梳理知识点一空间向量的夹角定义已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作0A=a,0B=b,贝\AAOB叫做向量a,方的夹角记法〈a,b)范围〈a,b)G[0,□].当〈a,b)=号时，a丄〃知识点二空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a,b,则
2、a
3、
4、b
5、cos〈a,b｝叫做a,〃的数量积，记作a•方.(2)数量积的运算律
6、数乘向量与向量数量积的结合律(Aab=A(a-b)交换律分配律a(b+c)=a•方+a・c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a,〃是非零向量，则a丄b^a-b=0②若a与“同向，则a-b=a-b；若反向，则a*b=~a'b.特别地，a・a=
7、af或
8、a
9、=p^③若。为a,方的夹角，则cos&_训创亶点突破题型一空间向呈的数量积运算例1如图所示，已知空间四边形MCQ的每条边和对角线长都等于1,点£DE,F分别是/B,4D的中点，计算：⑴寿扇；(2)EFBD；(3)£FPC；(4)BFCE.―►—►1―►―►解⑴EFBApB
10、DBA=*
11、丽
12、•丽cos〈丽，BA)=*X1X1Xcos60。=書,所以EFBA=.―►—►1—►—►—►—►(2)EFBD=^BD-BDcos〈肋，BD>pXlXlXcos0°=
13、,所以EFBD=^.(3)EFDC=^BDDC=^Bb-
14、5C
15、cos〈丽，DC}=
16、x1X1Xcos120°=—►—►
17、所以EFDC=-4.—►—>1—>—>I—►—>(^)BFCE=^BD+BA)^(CB+CA)=扌[丽•(-盹+菇•(-菇•劭I—*—►—►—*—►—►—►—►—►=^[-BDBC-BABC+(CD-CByCA+ABAC]反思与感悟
18、由向量数量积的定义知，要求a与方的数量积，需已知⑷，
19、创专口〈°,方〉，abb的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a/计算准确.跟踪训练1已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,
20、a
21、=3,岡=1,
22、c
23、=4,Ma-b+b-c+c-a的值为.答案T3解析Va+b+c=0,/.(a+b+c)2=0,a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,32+12+42…/.ab+bc+ca=—=—13.题型二利用数量积求夹角例2如图，在空间四边形OABC中，O/=8,4B=6,MC=4,BC=5,ZOAC=45°,ZCMB=60。，
24、求0/与BC所成角的余眩值.B解因为疋=花一乔,所以鬲•荒花一鬲•石〈弘AC)-OA\ABcos<04,AB}=8X4Xcos135°-8X6Xcos120。=一16迈+24.所以cos<04,ic)=花・荒2416迈32迈OA\BC8X5即OA与BC所成角的余弦值为三返.反思与感悟利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：（1）根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；⑵将求异面直线所成角的问題转化为求向量夹角问题；（3）利用向量的数量积求角的大小；（4）证明两向量垂直可转化为数量积为零.跟踪训练2如图所示，正四面体ABCD的每条
25、棱长都等于°,点M,N分别是力3,CD的中点，求证：MN丄ABtMV丄CD证明為乔=（庞+荒+動•乔=（荷+荒+*db）侖~~►1~►1—►—►=（MB+BC+^AD-^ACyAB=2«2+^2cos120。+如Los60°—^a2cos60°=0,所以济丄乔，即MN丄•同理可证MN丄CD题型三利用数量积求距离例3正三棱柱ABCAXBXCX的各棱长都为2,E、F分别是AB.A}C}的屮点，求EF的长.解如图所示，设AB=a,AC=b,AA=c.由题意知a=b=c=29且〈a,b)=60°,〈a,c〉=〈b,c〉=90°.因为EF^E
26、A+AA^A^F=+AAi+*花B<11.11+2（—严运力十卫p—吝c=
27、x22+
28、x22+22+2XX2X2cos60°=14-1+4-1=5,所以ef=£.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求岀这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式a求解即可.跟踪训练3如图，已知一个60。的二面角的棱上有两点B,AC,DD分别是在这两个面内且垂直于力〃的线段.又知MB=4,AC=6,BD=&求CD的长.解・.・04丄SB,BD丄A
29、B.・•・〈鬲，BD)=120°.，：cb=&+AB+BD.且办繭=0,丽•繭=0,:.CDY=CDCD=(CA+AB^-BD)(CA
