2018-2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何315空间向量的数量积作业苏教版

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1、3.1.5空间向量的数量积»>在学生用书中，此内容单独成册◎莖课时作业［基础达标］1•对于向量a，b,c和实数Af下列命题中真命题是(填序号).①若“6=0,则£=0或b=0；②若人曰=0,贝I」久=0或a=0；③若a=t),则a=b或0=—5；④若a•b=a•c,贝Ub=c.解析：①中若$丄6,则有a•b=0f不一定有曰=0或b=0・③中当a=b时，a=lf,此时不一定有a=b或日=—b.④中当曰=0吋，a*b=a・c,不一定有b=c.答案：②2.已知向量a,方满足条件：国=2,丨引=迈，且日

2、与2b—a互相垂直，则a与方的夹角为.解析：因为日与2b—a互相垂直，所以{.2b—a)=0.即2a•Z?—a=0.所以2a\bcos{a,b)—

3、a

4、2=0,所以cos〈0b}=2f所以曰与方的夹角为45°•答案：45°3.已知日，方均为单位向量，它们的夹角为60°,那么a+3b=.解析:a+3b2=(a+3A)2=a2+6a•b+9Z/=13.答案：4.已知单位向量e,0的夹角为60°,则

5、2&—釧=解析：12&—&2r=4e；—4©•0.+&=4—4X1X1Xcos60。+1=3,・

6、：

7、2e】一釧=羽.答案：£5.若向量日与b不共线•0HO,且c=a—(-—)b,则向量日与c的夹角为.a9b解析：a・c=a・[a-b=a・a~(—^b•a“a~a・a=0,答案：90°6•已知空间向量0、b、c满足a+b+c=0,b=1,

8、c=4,贝ija•b+b•c+c9a的值为•解析：Va+Z>+c=0,・°・(g+b+c)'=0,.a2+1)+c+2(a•b+b•c+c•a)=0,/•a•b+b•c+c•a=答案：-137•已知a=(x,2,0),b=(3,2—x、/),且a与b的夹角

9、为钝角,则x的取值范围是解析：cos方〉3x+2(2—力y/#+4寸9+(2—x)T夹角为饨角>Acos=0,Ma,b.c均为单位向量，/.a+b=萍，Ic

10、=1,(a—c)•(A—c)=a•b—(a+Z?)•c+c设a+b与c的夹角为0,则(a—c)•(b~c)=1—

11、a+b\c

12、cos0=1—花cos故(a-c)

13、・(b—c)的最小值为答案：1—£9.如图所示，已知空间四边形初〃的每条边和对角线长都等于1,点、E、F分别是初、AD的中点，计算:⑴鬲•荊；⑵彥•元解：(1)丽•色=谕•动=#

14、丽・

15、励

16、cos〈场，BA)1。1=tX1X1Xcos60°=-24(2)亦・说=諭・~DC=^~BD・

17、庞

18、cos〈场，DC)11=-X1X1Xcos120°=—-10.已知如图所示的空间四边形OABC^.上AOB=ZB0C=/AOC,且0A=0B=OC.乩冲分别是如腮的中点，6•是刖的中点.求证：OGLBC.证明：由线

19、段屮点公式得：死=#（弘F页‘）=*［松i+*（屈+必］=1@+屈+血又^=龙一励，.••花■.旋=*励+屈+旋)■(dc-dk)=(0A・~OC+~OB・OC+dc2-OA・~0B~~0B2-~0C・励=(0A・~OC-OA・OB+OC2~OB2)f・・•苗・~OC=OA\7)C・cosZAOC,OA・~OB=OA\7)B・cosZAOB,且

20、冼

21、=

22、厉

23、=

24、鬲I，ZAOB=ZAOC,・・.庞・亦=0,即06'丄应：［能力提升］1.已知⑦b是平面内两个互相垂直的单位向量

25、，若向量c满足(a-c)・(A-c)=0,则Ic

26、的最大值是.解析:法一：rfl己知，丨日

27、=

28、引=1,a•Z?=0,由此可知a+b=^2.将(£_c)•(力—c)=0展开得a・b—a・c~c•b+c'=0.设a+b与c的夹角为B,则IcV'=(a+b)・c=

29、a+b•Ic

30、•cos8,即

31、c

32、=£cos0.故当cos〃=1时，

33、c

34、取最大值迈.法二：因为(£—c)•(方一c)=0,所以a—c与b—c互相垂直•又因为$丄0,所以日，b,a_c,b-c构成的四边形是圆内接四边形，c是此四边形的一条对

35、角线.当c是直径时，

36、c

37、达到最大值，此时圆内接四边形是以日，b为邻边的正方形，所以

38、引的最大值为Qi法三：因为弘方是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可以以b为基底建立直角坐标系，a=(1,0),b=(0,1),设c=lx,y),贝Ua~c=(1—%,—y),b—c=(—x,1—y)•［tl(a—c)•(b—c)=0得仃一x){—x)—y(l—y)=0,所以x+y=x+(/+y2),从而p#+#W迈,当且仅当x=y=l时取等号.又

39、c

40、故