2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积讲义苏教版

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1、3.1.5　空间向量的数量积学习目标核心素养1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)1.通过数量积的概念、性质和运算律的学习，培养逻辑推理素养．2.借助空间角、距离等问题，提升数学运算素养.1．空间向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，a，b的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称a与b

2、互相垂直，记作a⊥b.2．空间向量的数量积(1)数量积的定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量

3、a

4、

5、b

6、·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)数量积的性质(1)cosa，b＝(a，b是两个非零向量)．(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．(3)

11、a

12、2＝a·a＝a2.(3)数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1，z

13、1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)．(3)

14、a

15、＝＝.(4)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．(2)空间两点间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝.思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？[提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．1．已知正方体A

16、BCDA′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于(　　)A．30°　　B．60°　　C．90°　　D．120°D　[△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°.]2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　)A.1　　　B.C.D.D　[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.]3．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝_________，＝__________.(1，－1，－1)　　[

17、＝(1，－1，－1)，

18、

19、＝＝.]4．已知

20、a

21、＝3，

22、b

23、＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.π　[cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝π.]求空间向量的数量积【例1】　已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积．(1)·；(2)·.[思路探究]　法一(基向量法)：与，与的夹角不易求，可考虑用向量，，表示向量，，，，再求结论即可．法二(坐标法)：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．[解]　法一(基向量法)：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则

24、

25、a

26、＝

27、c

28、＝2，

29、b

30、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝b·＝

31、b

32、2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝

33、c

34、2－

35、a

36、2＝22－22＝0.法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0，2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)，(1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16.(2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.解决此类问题的常用方法1

37、．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．1．在上述例1中，求·.[解]　法一：·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－

38、a

39、2＋

40、b

41、2＝2.法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0，2,2)，C1(2,4,2)，∴＝(－1,2,1)，＝(2,2,0)，∴·＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.利用数量积求夹角和距离　如图

42、所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠